如何求類似sqrt(x-1)+sqrt(x+26)+sqrt(14-x)這種三根號相加的值域？

的最大值，該題來自2019年西安交通大學入學數學測試，各位大神對這種題有沒有好的解法

如果是求最大值，那麼柯西不等式可以很好的解決，但是題主要求的是值域，這就十分複雜了

首先，容易得到定義域

設

令f(x)&>0

得

兩邊平方得

注意到，當時， ,f(x)單調遞增

當時，兩邊再平方得

因式分解即

設

x&>0時，g(x)單調遞增，由於g(0)&<0,所以在x&>0上有一零點

注意到 ,所以

又 ,故g(x)在上大於0

所以當f(x)&>0時， ,當f(x)&<0時，

f(x)有唯一的極大值點，

所以最小值為

@愛吃魚的小豬提供了一個更為簡單的做法

設

則

事實上不用求導，很容易發現g(x)是減函數，由於g(10)=0,f(x)在[1,10)遞增，(10,14]遞減，得到最大值最小值

求定義域的操作就不說了，令K = sqrt(x-1)+sqrt(x+26)+sqrt(14-x)，

轉化為 K = sqrt(x+26) + 2 (1/2) sqrt(x-1) + 3 (1/3) sqrt(14-x)，

利用Cauchy不等式得到K^2 &<= (x + 26 + 2(x-1) + 3(14-x))(1 + 2(1/4) + 3(1/9)) = 121，所以K最大取到11，接下去驗證下等號取到的條件就好了，x = 10。

至於為什麼變形為1/2和1/3，待定係數一波即可。

難道這個題目只能用初等數學的方法來解嗎？

這難道不可以直接求導嗎？

然後令導數為零不就可以求出極值點，再判定極值點是否在定義域範圍內就可以了呀。

不然再判斷增減性。這不是通法嗎？

記，且原式為f（t），則

，其中

對f（t）關於t求導

觀察這個式子，括弧內的兩個分式，分子分母都為正，並且t增大時分母減小分子增大，所以f（t）是一個連續減函數，並且f（0）=1，，存在唯一一個零點

令f（t）=0即 t=2

所以最大值就是f（2）=11

最小值是min{f（0），f（√13）}=

只求了個最大值。

求導。

一般只有這個辦法了。

FunctionRange[Sqrt[x - 1] + Sqrt[x + 26] + Sqrt[14 - x], x, y]