請教一道級數問題如何做？

（原題為：）

一、這可能是最簡單做法

這個問題做法不少，但最簡單的莫過於直接利用如下定理，聰明的讀者將會發現，這個引理與Lebesgue控制收斂定理（dominated convergence theorem）極其相似，事實上，這幾乎就是它的離散型版本。這定理是說：

設對每一個都收斂，即且有界，即其中與無關。若收斂，則

這個定理的價值在於，允許在一定條件下交換求和與取極限的次序。如果利用它來求解當前問題，則只需命容易驗證定理適用條件均已齊備：

於是依定理即得

這裡我補充一種門檻更低的做法，只需要用到序列上、下極限的一些最基本的知識。

置

首先，選定某個並讓這就將有

命中的就有

顯然對一切成立，於是命其中的就有

另一方面，依常見不等式可以導出如此就有命中的也應成立

綜合就是

這清楚地表明瞭

丟個鏈接就跑

https://www.zhihu.com/question/329635297

很久很久以前寫的一個分段估階法(註解部分因為轉pdf結果它少個負號)

可以嘗試轉化為黎曼積分

以前見過這題。我當時的做法比較粗糙，但是也猜到了答案(因為是寫成級數展開式的，所以我花了一段時間才意識到是e/(e-1)的級數展開式)。

這是答案。。。（好囉嗦。。。）

至於，我姿勢不夠，做不出。