反正切函數arctanx平方後的無窮級數怎麼證明?

注意到

由於兩個絕對收斂的級數可以任意相乘, 記 , 則有

其中

於是有

參考，數學分析精選習題全解(下)-薛春華,徐森林，題646，P288。照貓畫虎抄一遍就這麼又水了一題。。。

我們對於兩個數列分別求和之後再求積

可以先遍歷下標之後再求和

我們發現，同一對角線，下標和相同。

這就是柯西乘積

接下來就直接套公式就行了

首先，有非常簡單的反正切展開式

由於這級數展開式在內是絕對收斂的，因此可以通過自乘做成乘積，即

現在只需求出這待定的係數，而這是容易辦到的。事實上，它是通過對所有滿足的正奇數指標按如下手續作和而來

於是

這就是要證的。

不請自來，採用柯西乘積

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級數的柯西乘積?

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有脫褲子放屁之嫌，權當看個熱鬧

端點處總不要我教了吧

貼個出處

這個問題易證得，要是真不會我看情況貼個證明，上面幾個樓主已經把拆解過程說的比較仔細了，這個是給那種不會推的，背公式人看的

謝惠民上6.2.4練習題的第2題是

對計算。

這與該問題等價。我們使用遞推的方式來求解。

因為，所以

在上式兩端在求導，得到

即

利用萊布尼茨公式，對上式再求次導數，得到

把代入並整理，得到

因為是偶函數，所以當是奇數的時候是奇函數，進而。於是我們只考慮時的情形。在

的兩端除以，得到

或者

兩端乘以後變為

於是我們得到

進而

所以

因此

其中我們略去了對一些低階導數的具體計算，事實上，。