有哪些神奇的級數求和？
今天做到一個很神奇的級數求和。
首先是大名鼎鼎的黎曼zeta函數：
……
還有很多很多跟它有關的級數，挑兩個：
以上內容推導參見：
Aries：你絕對從未見過的有關黎曼ζ函數的一堆可愛級數?zhuanlan.zhihu.com下面是長得很像黎曼zeta函數的狄利克雷beta函數：
……
兩種推導過程分別參見：
如下圖，這個級數如何求出來呢？?www.zhihu.com我就不信有人會說它們不神奇~~
在我的草稿本上找到了一些有趣的級數：
若定義
則
特別地，代入
若定義
則
並滿足函數方程
以上級數看起來複雜，其實計算是套路化的，類似於歐拉和那樣疊權積分即可，有興趣的讀者可以試試。
下面這個級數如果能看出來來源還是比較簡單的：
特別地，代入
（要是直接給出這個級數還能看出來，那是真的厲害）
我舉幾個我覺得還比較有趣的級數求和的例子
我前些年看特攝片『歐布奧特曼』的時候，裡邊有個主要角色，叫松戸森，他被設定為一個天才科學家。
為了符合這種設定，他的辦公地點有塊黑板，黑板上經常寫著一些莫名其妙的數理公式，比如：
氣壓-高度公式（Barometric formula）和霍普金森定律（磁路歐姆定律）
離散型Logistic方程（Discrete Logistic Equation）
其中有一話，這廝背後的黑板上寫著：
我仔細一瞧，這tm不是印度著名數學家拉馬努金（1887——1920）給出的
麼
這兩個級數求和還是很困難的，有興趣的同學可以參見：
拉馬努金圓周率公式的原理是什麼？?www.zhihu.com我就不獻醜了
分割線
分割線
我再來舉一個很簡單的例子，但這個例子是有著比較有意思的背景的：
級數
我們知道牛頓二項式定理
即
（
代入
得到
用
也即
這裡
就是所謂的Catalan數，關於它的詳細討論可見：
https://zhuanlan.zhihu.com/p/60964047?zhuanlan.zhihu.com對於
你只要代入
就能得到
但是，這個級數背後還有其他玄機
比如我和你說，這個1其實可以看成概率，一個幾乎必然事件的概率
我們考慮一個簡單的概率問題：
一個質點在數軸上任意移動，初始時刻位於原點，每一步向
求：質點最終運動回到原點的概率.
考慮質點先運動到點1（由對稱性，第一步運動到點-1的情況與之相同）
在此條件下
設質點能回到原點的概率為
顯然質點有
設在下一步質點運動到點2的條件下，能夠運動到點1的概率為
顯然
而設在質點運動到點2又運動到點1的條件下，最終運動到原點的概率為
（在質點運動到點2的條件下，質點想回原點，當然需要過點1）
你會發現，它與之前質點在點1運動時，能到原點的概率相同，還是
則有
解得
最終，這個質點能夠回原點的概率當然是
注意，這裡雖然
樣本空間內存在這樣的可能性：
（不妨設質點第一步往右走，並且沒有回原點）在某一時刻後，向右走的累計總步驟總是多於向左走的累計總步驟，導致質點永遠回不到原點
儘管這些都是一個概率為0的幾乎不可能事件
那麼，這道題有沒有其他方法？
有，用組合的方法也是可以的，但是要麻煩不少
注意到，質點離開原點後，如果不加上「不允許接觸原點」這一限制，運行
顯然僅當質點運行偶數步（
而設這
先考慮途中不經過
必然是第1步從原點到達點1，第
所以從第2步到第
假設不考慮不允許穿過原點的禁忌，則共有
其中任意一種穿過原點的方法，都可將其在第
這樣，上述完整的步驟等價於先從原點到-1點，再經歷
這
共有
將這
即
即著名的Catalan數
如果看我這篇文章的話：
北斗星司：淺談Catalan數（一）
你會發現這個質點隨機遊走問題與Whitworth路線也完全是同構的
而
這就從組合與概率的角度解釋了，級數
為什麼和為1
今天剛推的：
推導過程在這裡：
圓周率pi比較著名的無窮級數公式有哪些？?www.zhihu.com拉馬努金公式
Chudnovsky公式
簡直是魔法
目前求 π 的演算法中哪種收斂最快？?www.zhihu.com下面這個地方介紹了這個公式是怎麼來的
Motivation for Ramanujans mysterious pi formula?math.stackexchange.com順便證明一下題主的那個級數：
Proving that the sequence $F_{n}(x)=sumlimits_{k=1}^{n} frac{sin{kx}}{k}$ is boundedly convergent on $mathbb{R}$?math.stackexchange.com推薦閱讀：