有哪些神奇的級數求和? 今天做到一個很神奇的級數求和。 首先是大名鼎鼎的黎曼zeta函數: ……,其中 為伯努利數還有很多很多跟它有關的級數,挑兩個: 以上內容推導參見:Aries:你絕對從未見過的有關黎曼ζ函數的一堆可愛級數?zhuanlan.zhihu.com下面是長得很像黎曼zeta函數的狄利克雷beta函數:……,其中 為歐拉數兩種推導過程分別參見:如下圖,這個級數如何求出來呢??www.zhihu.comAries:黎曼ζ函數、狄利克雷β函數:ζ(2n)與β(2n+1)的另一種巧妙求法?zhuanlan.zhihu.com我就不信有人會說它們不神奇~~ 在我的草稿本上找到了一些有趣的級數: 若定義 則 特別地,代入 可以得到 ,其中 為卡塔蘭常數。若定義 , 則 並滿足函數方程 , 以上級數看起來複雜,其實計算是套路化的,類似於歐拉和那樣疊權積分即可,有興趣的讀者可以試試。 下面這個級數如果能看出來來源還是比較簡單的: 特別地,代入 ,得到: (要是直接給出這個級數還能看出來,那是真的厲害) 我舉幾個我覺得還比較有趣的級數求和的例子我前些年看特攝片『歐布奧特曼』的時候,裡邊有個主要角色,叫松戸森,他被設定為一個天才科學家。為了符合這種設定,他的辦公地點有塊黑板,黑板上經常寫著一些莫名其妙的數理公式,比如: 氣壓-高度公式(Barometric formula)和霍普金森定律(磁路歐姆定律) 離散型Logistic方程(Discrete Logistic Equation)其中有一話,這廝背後的黑板上寫著: 我仔細一瞧,這tm不是印度著名數學家拉馬努金(1887——1920)給出的 麼這兩個級數求和還是很困難的,有興趣的同學可以參見:拉馬努金圓周率公式的原理是什麼??www.zhihu.com我就不獻醜了分割線 分割線我再來舉一個很簡單的例子,但這個例子是有著比較有意思的背景的:級數 我們知道牛頓二項式定理 即 ( )代入 得到 用 取代 ,可得 也即 這裡 就是所謂的Catalan數,關於它的詳細討論可見:https://zhuanlan.zhihu.com/p/60964047?zhuanlan.zhihu.com對於 你只要代入 就能得到 但是,這個級數背後還有其他玄機比如我和你說,這個1其實可以看成概率,一個幾乎必然事件的概率我們考慮一個簡單的概率問題: 一個質點在數軸上任意移動,初始時刻位於原點,每一步向 軸(數軸)正方向或負方向前進一步,向正方向或負方向是等可能的(都是 ),一旦再次到原點就停止行動,否則無限進行下去.求:質點最終運動回到原點的概率. 考慮質點先運動到點1(由對稱性,第一步運動到點-1的情況與之相同)在此條件下設質點能回到原點的概率為 顯然質點有 的概率在下一步直接回到原點,質點亦有 的概率下一步運動到點2設在下一步質點運動到點2的條件下,能夠運動到點1的概率為 顯然 (因為二者結構完全等價)而設在質點運動到點2又運動到點1的條件下,最終運動到原點的概率為 (在質點運動到點2的條件下,質點想回原點,當然需要過點1)你會發現,它與之前質點在點1運動時,能到原點的概率相同,還是 ,因為結構上同樣完全等價則有 解得 最終,這個質點能夠回原點的概率當然是 注意,這裡雖然 ,但這實際上是個幾乎必然事件,而非必然事件樣本空間內存在這樣的可能性:(不妨設質點第一步往右走,並且沒有回原點)在某一時刻後,向右走的累計總步驟總是多於向左走的累計總步驟,導致質點永遠回不到原點儘管這些都是一個概率為0的幾乎不可能事件那麼,這道題有沒有其他方法?有,用組合的方法也是可以的,但是要麻煩不少注意到,質點離開原點後,如果不加上「不允許接觸原點」這一限制,運行 步的方法數顯然為 顯然僅當質點運行偶數步( )後,纔可能會回到原點而設這 步的運行,中途不經過原點,而最後一步到達原點的方法數為 先考慮途中不經過 軸負半軸的方法數(途中不經過 軸正半軸的方法完全與之對稱)必然是第1步從原點到達點1,第 步從點2到達點1所以從第2步到第 步這 步必然向左和向右的步數各為 假設不考慮不允許穿過原點的禁忌,則共有 種方法其中任意一種穿過原點的方法,都可將其在第 步之前最後一次到達原點前的所有步驟關於 作一次反射,這樣,上述完整的步驟等價於先從原點到-1點,再經歷 步到達點1這 步必然是向左 步,向右 步共有 種方法將這 種方法排除,就是第1步到達點1,從第2步到第 步,並保持保持質點位置 ,第 步到達點1的方法數即 即著名的Catalan數如果看我這篇文章的話:北斗星司:淺談Catalan數(一)你會發現這個質點隨機遊走問題與Whitworth路線也完全是同構的而 這就從組合與概率的角度解釋了,級數 為什麼和為1 今天剛推的:推導過程在這裡:圓周率pi比較著名的無窮級數公式有哪些??www.zhihu.com 拉馬努金公式 Chudnovsky公式 簡直是魔法目前求 π 的演算法中哪種收斂最快??www.zhihu.com下面這個地方介紹了這個公式是怎麼來的Motivation for Ramanujans mysterious pi formula?math.stackexchange.comPi Formulas and the Monster Group (Or How a Monster Can Bake a Pi)?sites.google.com順便證明一下題主的那個級數:Proving that the sequence $F_{n}(x)=sumlimits_{k=1}^{n} frac{sin{kx}}{k}$ is boundedly convergent on $mathbb{R}$?math.stackexchange.com 推薦閱讀: 相關文章 {{#data}} {{title}} {{/data}}