這是個科普中經常出現的觀點。涉及到這個問題的論文我倒沒有涉獵。但這有個很明顯的問題：它是個統計性質的論斷，而不是絕對的。

目前已知的物理理論的CPT對稱性是沒有問題的，所以調轉時間箭頭的物理學描述也是沒有問題的（只要做相應的CP變換）。某種意義上，目前我們所定義的時間箭頭純粹是由於我們處於某種低熵態，但是同樣的低熵態在龐加萊回歸中也會出現，而那時的時間箭頭卻是相反的，所以這種時間箭頭的定義從絕對意義上來說是不自洽的，只能說在較短的時間尺度下統計意義上可以這麼做。

那麼接下來的問題就是，這麼定義到底有什麼意義？為什麼一定要定義這麼個箭頭？可以看到很多關於「時間」這個概念的民科謬論，比如什麼「時間不存在」啦，「運動才有時間，靜止就沒有時間」啦，都是在追求類似的某種意義，但我很難理解這些觀點究竟想要解決一個什麼問題？

前面好幾個答主說的都非常好了。首先我這裡給出結論，我基本同意 @傅鐵強 的觀點，如果把時間箭頭看作是統計性的，那麼這個論斷會有很多問題。我這裡把上述觀點用一個相對簡單的說法來表述一下。

統計力學意義上的熵增，無非是說在相空間中，低熵態所佔有的空間極小，而平衡態所佔的空間極大。因而，給定這樣一個前提，宇宙在此時刻處於一個低熵態（i，t=0），那麼，極大概率它會向著高熵態（j，t&>0）演化。

[公式]

這就是熵增的統計詮釋。請注意這個詮釋與時間反演對稱並不矛盾。

但是，同樣的邏輯我們也可以用於歷史。給定一個前提，宇宙在此時刻處於一個低熵態i，那麼，考慮歷史上某個狀態向著該狀態的演化，我們同樣會得到，由更加低熵的狀態向著i演化的概率極低，而極大的概率是，歷史上i極大概率來自某個高熵態k。

[公式]

因而，就不會存在時間箭頭。

所以現在的問題就變成了，我們已有的前提是，我們已知，沿著歷史向上追溯，宇宙總是來自於更低的熵態。那麼這個前提本身就已經預設了時間箭頭的存在。也就是說，熵（熱力學熵）增本身可以被看做是有箭頭的，但是這只是一個原生的定律，而（暫時）無法還原為統計力學的解釋。

所以問題就回到了起點：時間箭頭問題其實就是在問，我們為何會有「宇宙現在處於低熵態」、以及「已知歷史上熵總是在增大的」的這樣一個前提。那麼我們就是在重複我們的疑問。

我們可以說，這是因為我們現在正在處於某一個巨大的漲落過程中。這樣巨大的漲落雖然極不可能發生，但是在無限長的歷史中，它幾乎必然出現。這就引出了所謂的「玻爾茲曼大腦」的問題。對此Sean Carrol曾經說過這個假設基本上可以被否定了。至於他的理由，我暫時沒有看到。

我們也可以說，這是因為宇宙源自某個極低熵的狀態：大爆炸。因為起點是極低熵，那麼在演化中它就不可能變成更低的熵態，因而就有了時間箭頭。這似乎是一種主流的看法。

當然，我們還可以認為，其實宇宙的熵是守恆的。根據量子力學的幺正演化，我們知道熵肯定是守恆的。那麼我們所看到的熵增（熱力學熵），是退相干過程中的湧現現象。也就是說，熱力學熵是一個廣域信息守恆的系統中的局域信息。熵增的來源在於馮諾依曼熵的subadditivity。

這個問題下的回答普通人是看不懂的，我來補充點沒有公式的通俗描述。但給不出確定的答案，僅是討論，闡明信息學、熵和時間。

【 物理學中時間沒有方向是主流觀點，並不是什麼民科，不過這也沒辦法，時間不具有流動性對人而言是顛覆性的 】

  • 為什麼我們會記得過去而不是未來？

事件的因果、人類的選擇和熵之間的聯繫又是什麼？你的貓把杯子撞倒了，掉在客廳的瓷磚上碎開了。小區的熊孩子扔了個石頭，把一樓住戶的打碎了。先有因，後有果。我們有且只有一個正確的方法可以把它們按順序排列。這個方法如此的明顯，幾乎不需要我們做出一點點觀察，時間就在哪裡，只有一個方向，似乎是唯一的定論。但是，有時候，通過質疑顯而易見的東西，你會發現最令人驚訝的見解。

  • 人類的生活充滿了經驗，和因果關係一樣，只有一種方式。

時間的不可逆性和生命的不可逆性，是做人的經驗中必不可少的一部分。但有悖於常識的是：時間並不是物理學的一個基本部分。事實上，物理學的定律根本不在乎時間往哪邊走。將時鐘向後旋轉，方程仍然可以正常運行。

| 物理學定律在基礎層面上不區分過去和未來

關於時間的一個重要因素是：我們不是自主地被時間的河流帶著走，而是被動地被時間的河流帶著走。那麼時間的流動性是如何產生的？我們沿著時間前進的感覺又是怎麼回事？

本質上，時空也可以稱為「塊宇宙」，因為在其中的整個物理實在，過去，現在和未來是一次成型的描繪出來。我們感知的時間流，此刻，過去和未來其實都是「此刻」。

  • ··· ···

關於時間的方向性，和流動性，現代物理學的奠基者牛頓 在其《原理》中也談到過。

絕對的、真實的、數學的時間本身，根據其自身的性質，均勻地流動，與任何外部事物無關。

牛頓 不愧是巨人，很有靈性，沒有把他作為人類認為的時間流動性翻譯成數學形式，也沒有寫出任何結論。無論是牛一牛二定律還是引力定律，都沒有引用時間流。牛頓 說時間均勻流動，這個均勻其實並沒有錯，我們可以把均勻解釋為時間的度量對於不同位置，不同運動狀態的觀察者而言是同樣的。

在牛頓 的經典物理中，對於時間的四維幾何解釋可有可無，但是在愛因斯坦的相對論中，時間變成這一理論不可或缺的部分。這是因為相對論中，以不同速度的觀察者對於何為同一事件的的看法不一。在相對論中，「時刻」不是時空的客觀形態：它僅代表一個觀察者感知同時性的方式。

【 時間在相對論中必不可少，並是不因為時間是時空的客觀形態，而是因為觀察者感知的重要性。】

  • ··· ···

我們每天都會做出決定，努力主動地造成我們想要的效果，我們告訴自己這是自由意志，我們做出了選擇，所以量子發生干涉，事件隨後成型。

熊孩子選擇不顧一切地把石頭扔向窗戶附近，你的貓因為好奇選擇用爪子撞倒杯子。那麼，這說明一個決定是因果關係的關鍵。然而，物理學卻沒有語言來描述這種本質上的人類經驗。

人類的決定和貓的決定在方程中如何表達？世界是一個整體，我們是否應該找到方法來闡明這些領域之間的關係？

| 時間之箭

為了解釋為什麼時間只能向一個方向流動，物理學家們經常會引用一個不可逆轉的定律：熱力學第二定律。第二定律是19世紀為解釋發動機中熱和能量傳遞的科學而提出的.第二定律說告訴我們：一個孤立系統的 "熵"--比如說一盒氣體粒子，隨著時間的推移，只會上升，不會下降。

  • ···

熵通常被通俗地描述為無序或混沌的度量。比如說，一個房間開始時，一邊是熱空氣（由快速移動的粒子組成），另一邊是冷空氣（緩慢移動的粒子）。等待足夠長的時間（不引入任何加熱器或冷卻器）這些粒子會隨機地碰撞和混合，使整個房間的溫度均勻化。新的、"無序 "的空間現在的熵，比以前被整齊地劃分為冷熱區時要高。相比之下，如果從一個溫度均勻的房間開始，就極不可能自行形成一個冷熱空氣袋。

一個熱力學系統不會自發地轉移到一個更有序、熵更低的狀態。在沒有干預的情況下，向更高熵的進展是不可逆的。

  • ···

但是，這會是導致我們所經歷的時間是單向流動的可能性嗎？許多物理學家將這些關於熵的熱力學思想擴展到整個宇宙。把第二定律和宇宙開始時低熵的事實（早期宇宙的極端引力，萬物都被壓縮為一個奇點，隨後大爆炸，宇宙不斷膨脹，只要沒有外力干擾，宇宙將繼續膨脹下去，熵也會繼續增加下去，時間朝著增熵流動。）結合起來，你就有了一個不可逆的 "時間之箭"，它適用於我們整個宇宙，並且只指向未來。

這看似完全解決了時間之箭的起源問題。但時間之於人類和之於物理學，是完全不同的。如何把人類的時間感受和物理聯繫起來？

  • ···

牛津大學的理論物理學家Julian Barbour在時間的本質問題上寫了大量的文章，他認為，最初為了更好地理解蒸汽機而衍生出的熵的概念並不能輕易地應用到宇宙計算中去；發動機的蒸汽凝結氣缸與不斷膨脹的宇宙並沒有什麼共同點。

雖然 "熱力學"的時間之箭解決了許多教科書上的物理問題，如被困在房間里的粒子如何隨著時間的推移進入平衡狀態，但它在更微妙的問題上仍然保持曖昧不清的態度。為什麼我們會變老，而不是變年輕？為什麼我們記得昨天發生的事，而不是明天會發生的事？為什麼因果總是先於效應？所有這些單向現象的背後一定有同樣的規律在起作用，但如何起作用？

| 因果關係內隱藏的變數

  • ···

因此，我們需要找到一個具體的數學描述，以理清因果關係和熵之間的糾纏不清的關係。大多數物理問題都有明確的因果關係，而人類的許多問題則是由許多變數組成的漩渦，包括一些隨著時間的推移而變化的變數，一些並不明顯的變數，以及一些隱藏在其他變數後面的變數。

（試想一下，面朝大海，每一個微小的浪花，每一次潮汐的涌動，或者，不明海域的巨大漩渦，深不可見的海底暗流，每一個現象都是大海抽象出的一部分，每一滴水都代表一種可能性，組成浪花，潮汐，漩渦。這就像人的想法和決定，所有這些信息聚合在一起，組成了人類的意識，一個想法消散退卻，下一個立馬又會湧出。）

  • ···

有時候，因果關係很容易就能算出來。你把一杯82年的拉菲灑在你的晚禮服上，就會有一大塊深色的污漬。但有些因果關係就比較複雜了。喝杯拉菲會不會讓你長壽？會不會讓癌細胞不容易生長？或者說，喝杯拉菲可能與其他因素有關——也許你是土豪生活富足，可能會讓你更加長壽。

當因果關係和關聯性如一團亂麻無法區分時，我們就需要統計學來幫助解開——貝葉斯網路，即顯示多個變數之間關係的圖形。

  • ···

2017年，加州大學伯克利分校的 Carroll 和同事的研究表明，利用貝葉斯原理可以推導出一個新版的熱力學第二定律（A. Bartolotta等人，Phys.Rev.E 94，022102（2016））。他們將其稱為貝葉斯熱力學第二定律。

We derive a generalization of the Second Law of Thermodynamics that uses Bayesian updates to explicitly incorporate the effects of a measurement of a system at some point in its evolution. By allowing an experimenters knowledge to be updated by the measurement process, this formulation resolves a tension between the fact that the entropy of a statistical system can sometimes fluctuate downward and the information-theoretic idea that knowledge of a stochastically-evolving system degrades over time. The Bayesian Second Law can be written as ΔH(ρm,ρ)+〔Q〕F|m≥0, whereΔH(ρm,ρ) is the change in the cross entropy between the original phase-space probability distribution ρ and the measurement-updated distribution ρm, and〔Q〕F|m is the expectation value of a generalized heat flow out of the system. We also derive refined versions of the Second Law that bound the entropy increase from below by a non-negative number, as well as Bayesian versions of the Jarzynski equality. We demonstrate the formalism using simple analytical and numerical examples.

【 但如果變數之間存在複雜的相互聯繫，單靠貝葉斯網路並不能總是區分因果關係和相關性。】

  • ···

1995年，計算機科學家和哲學家Judea Pearl，貝葉斯之父。在思考計算機如何利用人工智慧來發掘變數之間的聯繫，他想出了一個解決方案—— "因果微積分 "。將貝葉斯網路重構為可以揭示真正的因果關係的方程。

  • ···

因此，Carroll 的想法是，嘗試著將 "貝葉斯第二定律 "擴展到允許多個相互關聯的變數，然後將Judea Pearl 的數學基礎架構融入其中。如果成功的話，這將準確地顯示出熱力學第二定律中的因果關係是如何遵循熱力學第二定律的。

Carroll 插入了這樣一個事實——即過去的熵很低（當然，宇宙從低熵開始也是我們假設的，為了解決問題，自己給出了答案。事實上，我們無法證明宇宙是否有一個『開始』。）。他希望，當所有的碎片組合在一起時，方程將揭示出因果關係不僅僅是因果關係，而是因果關係在時間上只有一種運行方向。

儘管 Carroll 的理想結論只是證實了我們的直覺告訴我們的是真的，時間確實以某種形式存在。但我們要的是真正緊密而嚴謹聯繫，把時間和熵在物理空間內糅合在一起。

  • ···

至此，我們暫且跳過Carroll 執著於時間方向的物理起源。而將多個學科結合在一起，了解人類如何操縱因果關係，成功地塑造我們的未來。

一次一個個選擇，上班還是睡覺？逛街還是追劇？咖啡還是奶茶？走路還是坐車？我們是思考、決定和行動的 "代理人"，我們的行動會對我們的世界和世界中的其他人產生漣漪效應。

從物理學定律到做人的經驗，人類的狀況從物理學的微小粒子中出現。然而，我們實際上並不知道這是如何發生的。我們知道，人所做的選擇會影響到未來，而不是過去。因此，我們假設，沒有熵來定義時間的方向，就沒有人的決定權。

| 如何將人的主觀能動性這樣的無形品質與熵這樣的物質物理概念嚴格地聯繫起來？

  • ···

Richard Phillips Feynman，（1965年諾貝爾物理獎得主）告誡過他的學生：物理的根本不是量子力學，不是相對論，而是信息！

所以，我們現在的策略是將目光轉向信息概念，這個概念已經成為哲學語言和物理學語言之間潛在的橋樑。（就像羅塞塔石碑文，不同語言刻著相同內容，為後世的考古學翻譯做出了無可限量的貢獻）

  • ···

美國數學家Claude.Elwood.Shannon，資訊理論創始人。他用交流編碼的數據來定義熵。熵，在這個表述中，數據被壓縮的同時仍能可靠地傳遞信息。

我們將 Shannon 資訊理論的熵的概念與達爾文 的進化理論聯繫在一起。可以發現，在生物的每一個原子中綁定的所有信息中，只有極小的一部分對該生物的生存具有重要意義。重要的是什麼？花莖能向著太陽傾斜；細菌能把自己推向食物；小魚能快速地遊離大魚的身邊。通過挑出那些讓生物保持在進化優勢的信息，就能找到一種分離出 "有意義 "信息的方法。

意義、信息、意向性這樣的概念，是很難與一個實體詞聯繫起來的。而我們探討的是一個純粹的物理性的信息定義（純粹物理中的信息屬於凝聚態範疇）。是什麼使一個物理過程變成了 "信號"？

  • ···

我們對世界的理解是有差距的。一方面，我們有物理宇宙;另一方面，我們有意義、意向性、目的、功能和類似的概念世界，這些概念被我們用於生命、人類、經濟等。

這很像是Plato（古希臘偉大的哲學家）所說的理念世界和現象世界（理念世界從大爆炸那一刻起，就是真實存在的，永恆不變的，而人類感官所接觸的現實世界，只不過是理念世界的影子，它是由現象組成，而每種現象因時空的參數而表現出暫時的變動特性。）說到這裡我又想到玻姆 的隱纏序也是如此。但後一種概念在初等物理學中是不存在的，而把它放在物理的世界觀中是很微妙的，以至於這種差距的存在通常被作為反對自然主義（宇宙意識，智慧創造論）的最有力的論據提出來。

  • ···

首先，信息是傳遞意義的物理事件。例如，你的手機響了，這是一個信號，意味著有人在打電話。當你聽到它，你明白手機響代表的意思，於是，你拿起電話接聽。

作為一個純粹的物理事件，這個過程在物理上引起了一系列的物理事件，比如空氣分子的振動，你大腦中複雜的神經網路，等等，這在原則上可以用純粹的物理原因來描述。這個過程和物理因果鏈中的環節有什麼區別?

這個問題在生物學，特別是分子生物學的背景下變得特別有趣。在這裡，生命的細微工作主要用信號和信息載體來描述。DNA對生物體的結構信息進行編碼，特別是對即將產生的蛋白質進行編碼，RNA將這些信息傳遞到細胞核外，細胞表面的受體通過適當的化學級聯傳遞相關的外部條件。同理，光神經在眼睛和大腦之間交換信息，免疫系統接收感染信息，激素向各器官發出信號，告訴它們該做這做那，以此類推。

  • ···

我們用大量的信息來描述生命的各個層面的工作。這意味著什麼？這些過程與我們通常不使用信息性語言的純物理過程有什麼不同？

  1. 第一點，在所有這些過程中，信息的載體可以在一定程度上很容易被其他的東西取代，而不會對整個過程造成實質性的改變。你的手機鈴聲可以被蜂鳴聲或震動所取代。解碼其意義的過程在某種意義上來說是等價的。
  2. 第二，在每一種情況下信息載體在物理上與其他東西（一種蛋白質、細胞外的狀況、眼睛裡的視覺圖像、感染、電話..........）相關聯，在這樣的情況下，打破這種關聯會在一定程度上損害機體。這正是這裡所研究的有意義信息的定義。 ˇ
  3. 那末，時間的不可逆，是否是有機生命與生俱來的保護機制，以便維持熵的平衡？
  • ···

我們可以用不同的替代品表述信息，但在進化過程中，人類產生了有別於物理世界的另一種內在世界，既 Plato 所謂的現象世界。而矛盾就出現在這裡，在物理學中，我們根據人類自己的感知添加時間方向，根本不會影響方程的表達。

這又說明了什麼？從理念世界中抽離出了現象世界，但這種現象世界僅是由人類的認知和感官來表述，所以無法影響理念世界？

到這裡，似乎時間方向必然和人類對世界的感知有密不可分的關係。

讓我們再次回到最初的問題——熵。

  • ···

2017年法國人在《物理評論》上發表了一篇有趣的文章，主要闡明了人類大腦之所以有意識，是熵增的副產品，是自大爆炸開始，宇宙必然會發生的過程。整個實驗並不複雜，就是測量人類大腦在清醒和睡眠的神經元震蕩。結果也能猜到，人類清醒時，大腦表現出更高的熵。

也就是說，在這個實驗中，意識是大腦為了最大限度地和周圍世界交換信息而產生的副作用。

所以，又是信息，無法繞過的信息。

  • ···

心理學上有一個現象——「聚光燈效應」。其意義是：人類與世界的關係，類似舞台聚光燈下的演員，人類從海量的信息當中，篩選出有用的信息，構建出自己的現象世界。而聚光燈之外的黑暗，才是真實的，不變的理念世界。

說了這麼多，其實還是很難讓我們對時間有一個清晰的認知。這一方面是受限於大腦對世界的感知方式；另一方面，就是人類物理科學的滯後，無法觀測到最基本的實在。

| 熵能解釋我們對時間的感知嗎？

  • ···

本世紀對熵最有顛覆性的理論，或許就是貝肯斯坦 和霍金 的（SBH=Akc^3/4?G。此公式在某種意義上統一了廣義相對論，量子力學，熱力學，和統計物理，以及信息學。）黑洞熵公式了。

黑洞熵公式說明黑洞的信息是和表面積成正比的，而和體積無關。而當我們把這一公式Leonard Susskind（斯坦福教授，前管道工後弦論創始人。）的黑洞互原理結合。（黑洞互補原理：在黑洞視界量子抖動和熱抖動以一種特殊的方式糾纏在一起。遠處觀察者眼中，落入黑洞的人會被黑洞視界輻射燒壞後跌入奇點；但是在落入者的視角，通過視界和其他宇宙空間並沒有什麼區別，這兩種結果都是正確的。已被計算驗證。）

由此我們可以得出這樣的推論：黑洞並不會吞噬信息，信息肯定是用另外一種方式儲存了起來。

這便是全息宇宙的由來，它告訴我們，我們所眼見的一切以及我們自身，本質上都是二維黑洞視界上的信息投射。而隨著人類對黑洞的認知增加，這種理論越來越接近現實。

  • ···

既然說到弦論，那麼必然是和我們所說的信息有重要的聯繫。

弦並不是一種新發現的東西，而是指基本粒子在不同態下的表現形式。

我們都知道，能量可以轉化為粒子，粒子也可以轉化為能量，大型粒子對撞機，就是用這種方式來尋找新粒子。量子色動力學專家在實驗中發現，當粒子碰撞後，生成的能量團，非常類似黑洞視界。（這種相似性，是流體相似性，在弦論中，弦可以黑洞形式存在。）

| 關於結論，純屬個人結合上文和玻姆隱纏序的扯淡，無任何實驗支持。

  • ···

最後，結果就顯而易見了，一切的一切都是信息，純粹物理意義上的信息。

熵增是產生信息的關鍵，任何物理事件都是由信息構成，而信息也構建了我們的理念宇宙。我們身體里的基本粒子包含信息，我們的行為製造信息，增熵的結果就是源源不斷的產生信息。但我並不是一個虛偽主義者，我是不願意相信的世界是由無數的玻爾茲曼大腦組成，並且，對二維視界投射也很難接受。

  • ···

我個人更傾向於 玻姆 的想法，世界是一個整體，一個巨大的信息海洋，人類的意識出現是具有其意義的，而不是某種物理過程的副產品。

不過，無論哪種猜測，對時間方向的感知解釋是相同的：時間的方向感是意識對信息的一種梳理方式，正是這種梳理，產生了所謂的「意義」，產生了我們對時間的感知。地球生命是已知宇宙的唯一低熵體，我們從混亂的宇宙中分離出有序，我們時時刻刻和宇宙交換信息，而在交換過程中，意識為了更好地表達世界所隱含的信息，自發的湧現出了這種感知能力。

最為關鍵的是，這種獨特的感知能力實際上比我們想像的重要許多，因為我們很難說出，是因為人類才產生了宇宙，還是宇宙造就了人類，畢竟觀察者在物理學中有至關重要的地位。

從觀察者的角度來看，「每一刻」都是特殊的，可以被稱為觀察者的唯一現在。但客觀上，沒有一個此刻比其它時刻更能稱為「現在」。

任何事物都不能從一個時刻運動到另一個時刻，在某一個時刻存在的就意味著永遠存在。我們的意識在所有時刻都存在。觀察者在不同時刻感受的「現在」時刻不同，並不意味著觀察者的意識或者任何物體穿過了「時間」。主觀上，到處都處於「現在」之中，客觀上，沒有現在。——《真實世界的脈絡》11章

在這本書中，作者多伊奇把時間的方向性解釋為觀察者在不同時刻的記憶差別。

而記憶差別本質上是觀察者獲取的信息差別：什麼都沒有流動，信息創造了一切。

謝 @melonsyk 邀，題目中「同樣的低熵態在龐加萊回歸中也會出現」確實是切中該觀點要害的評述，事實上題目中「它是個統計性質的論斷，而不是絕對的。」還是說得過輕了。它可能連統計性質的論斷都不算。

由於上圖截自Thomas Cover《資訊理論基礎》，需注意文中「字元」可看成隨機變數的取值，「字母表」等價於「值域」。為方便對應我們將時間離散化了，更加正式和系統的論證可在隨機過程的專著中找到。

將物理系統的狀態演化看成平穩遍歷過程，根據Kac引理，只要現在出現了某個狀態u，你總能在時長期望為1/p（u）的歷史中再次見到它。這個論斷不需要假定系統遵守哈密頓力學或者孤立，所以否認龐加萊回歸的那一套在這裡行不通。

更進一步地，如果相繼出現的兩個狀態i和j表現為「低熵—&>高熵」的增長特徵，即S（i）&任何將復現時間期望假設為不現實的大數的做法，都必須同時認定「低熵—&>高熵」是不現實的小概率事件，因為它的概率和前者恰好是反比關係。

認為低熵態復現時間很長所以可以不用管的人請回答我：你要怎麼將極端小概率事件作為平常時間流動的箭頭啊？

綜上，只有兩種可能的演化路徑：一種低熵態復現發生得相當頻繁，從而熵增和熵減現象都較為典型。另一種熵增現象是小概率事件。不管哪一種結果，用熵增作為時間箭頭都是完全失敗的。

以上論證用到的內容純粹屬於統計，幾乎沒有具體的動力學假定，說明我們對微觀物理的認知進展完全不會影響上述論斷的有效——熵增從統計意義上看也不是時間箭頭。

現在我們來反省平穩遍歷過程這個論證的前提，它是否能有效地描述系統呢？首先，幾乎所有近平衡態統計物理的結論都依賴於狀態的長期演化可看成是平穩遍歷的，否則你就必須始終嚴格地區分時間平均和系綜平均。另一方面，AMS分解告訴我們能用漸近均值平穩過程建模的物理演化也能用遍歷過程來建模。最關鍵的是，如果演化過程無法被看做漸近均值平穩的，你真的還需要時間箭頭？

========更新=========

以下是回應 @梁昊 的評論：

紅線句是沒有錯的，但本題目在問「「熵增的方向定義了時間箭頭」」

轉移條件概率不應成為時間箭頭的唯一判據，因為從直觀上看，時間流逝應該是始終存在的，如果初態概率p(i)很低，那麼這種罕見事件就不該成為時間箭頭。

這點 @梁昊 的原文也意識到了：

當然如@貓立刻 所說，對單個特定的i有p(i)約為0，但若考慮所有滿足條件的i和j則依然可以有熵增事件總概率趨於1.關於這點也有解答：

MWI貌似可以解釋這個現象……如果想用量子態演化的時間反演對稱性來反駁熱二律，就必須把整個宇宙的波函數都作為一個整體考慮，那麼對應某個「現在」的「歷史平行宇宙」也有無數多個，但我們的記憶中只經歷了一個歷史（沒有人知道為什麼，感覺這才是問題的關鍵），所以就產生了時間箭頭的感覺

我一個外行斗膽來攪合一下，因為這個問題確實很有意思。

先說我的觀點。我覺得，微觀上熵增熵減概率差不多沒問題，例子是布朗運動；宏觀上有熵增的時間箭頭也沒問題，這正是我們觀測到的、以及熱力學第二定律所規定的。從微觀到宏觀的變化是統計性質，但造成這種結果的並不是單個低熵-&>高熵或者高熵-&>低熵狀態的變化概率有什麼天壤之別，而是狀態本身的數量有天壤之別。

@傅鐵強 的舉出的 (i, j) 對的例子，畫成圖應該是這樣：

從 i -&> j 的概率是 p(i, j)。你如果把 i-&>j 看成一個整體，根據 Kac 引理，從 j -&> i （也就是上一次 i-&>j 之後，j 再回到 i）的期望時間就等於 1/p(i, j)。那如果根據熱力學要求 1/p(i, j) 需要等待很長時間的話，p(i, j) 就得非常小，那不是反而在說從低熵到高熵是小概率事件了嗎？

但我認為，p(i, j) 和 p(j, i) 都是差不多的，因為這是在微觀態。事情的癥結在這兒：對於每一個「基元」的微觀態，你並不能定義它的熵是多少。也就是說，S(i)，S(j) 這種表述方法是錯的。

回憶熵的微觀定義：

[公式]

[公式] 是微觀態的數量。只有一個體系它擁有許許多多個微觀態，也就是上文的 i，j 表示的那些東西，這個體系才有熵。所以，我們應該這麼表述：體系有兩種狀態，低熵和高熵，分別是 S1 和 S2，S1& 個微觀態；體系 S2 中，有 [公式] 個微觀態。從低熵到高熵的變化是這樣的：

雖然每一個微觀態的 p(i, j) 都相等，但是，從 S1 到 S2，每一個微觀態 i 有 [公式] 中選法；而從 S2 到 S1，每個微觀態 j 只有 [公式] 中選擇。所以

[公式]

這個指數可是會很大的。

你可能會說，不應該再乘上初始態中本身的微觀態數量嗎？這樣， [公式] 和 [公式] 不都應該是 [公式] 嗎？

我覺得並不是。因為任何時刻，S2 都面臨著保持自身、變成熵更小的 S1 和變成熵更大的 S3 這三種選擇。而這其中，毫無疑問 [公式] 的概率會最大，因此 [公式] 在宏觀上會成為一個小概率事件。

我想這樣並不會違反 Kac 引理，而時間箭頭也能成立。

也許，你也可以說，時間箭頭仍舊是人意識的產物，而不是什麼熱力學定律的產物。為什麼我們會認為 S2 中擁有比 S1 更多的微觀態呢？拿著名的洗撲克牌做例子。S1 對應於洗得整整齊齊的牌，S2 對應亂牌。我們的意識天然地認為，像

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10， J，Q，K，A

這樣的順序叫做「整齊」，是熵小的狀態；而

3，8，A，9，4，6，K，2，J，Q，7，10，1，5

這樣的順序叫做「雜亂」，是熵大的狀態。

但實際上，從微觀的排列組合的角度看，把一幅牌（其中的一個花色）洗成上面兩種「特定」順序的概率其實是完全一樣的。只是，我們會把許許多多類似第二行但不完全一樣的順序，都視為是同一種「雜亂」的高熵態。

還請 @傅鐵強 @梁昊 @貓立刻 探討一下~

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