有沒有代數結構誘導的拓撲？
稍微延申一下高贊的回答。
現代意義下的代數很多時候是用範疇的語言來描述的，代數上的幾乎所有信息都被範疇中的morphisms描述。拓撲不僅可以定義在空間上，還可以定義在範疇上，這個時候叫Grothendieck拓撲，當範疇中的morphisms都是代數信息的時候，姑且也可以算是代數決定的「拓撲」。給定一個Grothendieck拓撲就是給定範疇中的一些被稱為開覆蓋的態射，使得它們滿足一定的條件。
假設
是給定的概型，範疇 是所有over 的概型組成的範疇，於是這個範疇上所有的open immersions是一個滿足拓撲公理的一族態射，它們組成範疇 的Zariski拓撲。範疇 中所有的etale morphisms也滿足拓撲公理，這個稱為etale拓撲，類似的我們還有smooth topology, fppf topology, fpqc topology...... 謝邀。
由affine variety引出的Zariski topology就是一個例子。
中的affine variety最簡單的定義為 元多項式的公共零點，在Euclidean topology之下affine variety可以證明是closed set，並且affine variety的有限並和任意交都仍然是affine variety，所以如果把每一個affine variety的補集作為開集，構成的拓撲就是Zariski topology，並且 Zariski topology的開集在Euclidean topology裏仍然是開集。 由於一個affine variety
上的點和它的coordinate ring 的maximal ideal存在對應，在 的maximal spectrum（所有maximal ideal的集合）上可以誘導出一個topology. 一個簡單的理解是取 中的某個ideal，然後把 中包含這個ideal的元素組成的子集定義為閉集。這樣的拓撲也叫Zariski topology. 任意一個交換環
的spectrum （定義為這個環的所有prime ideal組成的集合）上也可以用類似方式導出一個(Zariski) topology。大致來講，一個環的spectrum加上上面的Zariski topology就是一個affine scheme. Richard 先生的答案給出了仿射概形，這是代數幾何裏最基本的概念. 我們來說說
-adic拓撲環吧，這是代數數論裏最基本的概念. 令
為交換環. 給定理想 ，於是 構成 在 處的一個過濾, 由此它可以當作 在 處的一個的開鄰域基. 我們稱 的這個拓撲為 -adic 拓撲. 標準的例子是
而 , 這個拓撲稱為整數環的 -adic 拓撲，它不是完備的，我們構造它的完備化 , 它是完備 的，稱為 -adic 整數環. 進階一點，
-adic拓撲環被Huber推廣為了Huber環，這是Adic空間，Perfectoid space等現代理論的開端。Peter Scholze 提出了Perfectoid space理論，並在動機理論和朗蘭茲綱領上有傑出貢獻，因此他於2018年獲得菲爾茲獎. Galois group with Krull topology或者profinite group都是
Affine space with Zariski topology或者環的素譜
說實話，實數的Euclidean topology其實也是作為ordered field的序關係得到的序拓撲
所以這麼看來，舉出完全和代數無關的拓撲反而有點意思
扎里斯基拓撲
分次模上有自然的拓撲結構，你可以在任何一本交換代數教材中找到。
有啊，拓撲羣（topological group）嘛。
我們知道羣上有一個運算 ·：G imes G
ightarrow G，拓撲羣的拓撲就是讓這個運算（在乘積拓撲意義下）和求逆運算-1: G
ightarrow G都連續的最弱的拓撲結構。以我對拓撲粗淺的理解來看應該有
Filtration（中文應該叫「濾」吧）：
給定一個羣G，那麼G的一個正規子羣降鏈{G_i}可以誘導出G上的一個拓撲。事實上，定義每個點g（G的一個元素）的鄰域係為它在每個正規子羣上的陪集{gG_i}，那麼這樣就能給出G上的一個拓撲（驗證）。
在交換代數裏，我們直接是設G是一個Abel羣，運算用加法，g的鄰域系寫成{g + G_i}。然後我們在環和模的範疇上也可以定義同樣的結構，例如環上是用理想降鏈來誘導拓撲的。其中有一類特殊的拓撲，是固定一個理想I，以理想鏈{I^n}誘導出來的拓撲，叫作I-adic拓撲（大概是翻譯成「I-進位」吧）。
這樣一種拓撲在交換代數、代數數論以及代數幾何這些相關學科裡面是很常見的。它有幾何上的解釋，也在純代數理論裡面起到了很大的作用。
只要有代數運算，就有一個讓這些運算連續的最弱的拓撲。
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