有沒有一種行之有效的方法可以將一種函數展開成另外一種函數的級數?

很多函數都可以展開成冪級數和三角級數。
但能否將函數展開成例如ln(x)之類函數的級數。

所以人們為什麼愛用泰勒級數和傅裏葉級數（三角級數）呢？因為簡單。想要展開成別的基底不是不可以，但是實在是無法行之有效。 ——另一個答主

泰勒級數不好評價。不過傅裏葉級數，在特定的情況下，的確不是必須要這麼做的。

施圖姆-劉維爾問題（也稱施圖姆-劉維爾理論，簡稱為S-L問題）所提供的結果正是一個足夠有效的，找到一類正交函數集，使得能將一個函數展開為這一類正交函數集所構成的級數的方法。

當然，函數不是任意的，有一些限制，但這不是重點。

在S-L問題下可以發現，三角級數不是唯一的，還有無窮多種函數集可以用來展開；但它也足夠特殊，因為它最簡單，也能夠做到週期延拓。

（不過應當指出提問裡面的一個問題，僅僅一個是不能夠做什麼的。至少應當是一個函數集，類似於，等等這樣的函數集。它包括了一類函數。這樣它纔有了某些展開的能力。）

（不過實際上和等價）

如果要仔細說出來有點複雜，反正閑著沒事幹（不是），那就先列個提綱慢慢說：

向量→函數→微分方程

在此先說明，以下的論述不是細節的，而是一個大概的方向。只有在足夠引發問題的時候才會有所提及某些細節。因此並不會給出大量的條件約束等。

並且前置的內容相當簡單，作為鋪墊。正式的內容在最後。

從向量到函數

首先要將「內積」和「展開」的概念從向量推廣到函數。

是怎麼從向量的內積推廣到函數的內積的？

如果 , 是三維空間中的向量，那麼它們的內積為。其有以下性質：

作為推廣，自然希望內積的概念在對函數的推廣之後依舊保持。最後（數學家們）選擇的結果是：

函數的內積

兩個函數與是定義在上的函數，它們在上的內積是：

如果其存在。

內積可以引出正交的概念，鑒於此，又有了正交函數的概念：

正交函數

如果以上的兩個函數有：

則稱函數與是在上正交的。

對於函數來說，這個正交就完全不是垂直的同義詞了。其沒有什麼幾何意義。

對於向量有正交向量組（集），然後還有規範正交向量組（集）。那麼對應著函數，應當也推廣出正交函數集等。這是分解的基礎。

正交函數集

一個實值函數集如果在區間上有：

那麼就稱這是一個正交函數集。

最後還需要一個模的概念，就可以開始展開了。

模（廣義長度）

正交集中的模（廣義長度）為：

或者說其平方模為：

最後，如果一個正交函數集上的所有函數都有其模等於1，那麼這就是一個規範正交函數集。在此就不說了。

正交級數展開

可以先說明，正交級數展開需要用到類比內積的概念引入，但是到後面卻可以跳出內積的概念。這是與向量不同的地方。這樣的正交級數展開又被稱為廣義傅裏葉級數。

在一個維空間中的向量，可以以個線性無關的向量為基底來分解，由此得到坐標。雖然可以如此，但是更好的是以個正交的向量為正交基來分解。

如果給出維空間中的正交基，和其中的一個向量 ,那麼有：

其中是標量，稱為向量的分量。為求出各個分量，將等式兩邊分別與做內積。

以求為例：

由於是正交函數集，那麼角標不相同的就全部「歸零」了。最後只剩下對應的項：

一樣的，也是如此。最後將求出來的放進的展開式中可以得到：

對於某一個（能展開的）函數的正交級數展開將於此沒有一點變化。

假設是區間上的一個無窮正交函數集。那麼，一個定義在區間上的，有某種良好性質的（能夠展開的）函數，可以確定一系列係數使得：

在此從開始，這是一種習慣。

為求各個係數，一樣的，可以做內積，以求為例：

角標不相同的都歸零，最後只剩下

一樣的，最後函數的正交級數展開為：

從這裡開始就是與向量不一樣的地方了。

對於一個函數的展開來說，一定要是以內積的方式來展開嗎？或者說一定要選擇內積嗎？

接下來可以看到，可以用於函數內積類似的積分，同樣的去做展開。

關於權函數的正交

一個實值函數集如果在區間上有：

則稱這是一個關於權函數 正交的正交函數集。

注意，對比一下前面，不能再用內積的括弧了。並且它也不滿足內積性質的第四點。總而言之，這已經不是內積了。

但我們依舊說這是正交的。用這樣的正交函數集去做展開，只需要改變一點點。對於同樣的一個函數的展開：

要求得，則需要同時乘上再積分。一樣的歸零之後，最後的求得：

然後帶入得到函數的展開式。這樣的展開並不會帶來什麼邏輯上的問題。

看上去很沒有什麼實感的樣子。實際上傅裏葉級數就是當權函數等於時的一個例子。而權函數不等於的時候，可以舉出這樣的例子：

可以計算，它們的確是關於權函數正交的。

還得補充一下，在給定區間正交就在給定區間展開，三角函數有周期性所以可以週期延拓，但這並不說明所有的正交級數都能做到週期延拓。甚至在區間外不正交都是不奇怪的，更不能指望延拓了。

（還剩下一些：函數能否構造，以及收斂性的問題，但是不在此寫出來。）

然後就到了那個問題了。經過上面的論述，可以問題轉化為：

有沒有這樣的一種方法找到「任意多的」一組正交函數集，以及它的權函數？

這樣的話，就可以用這組正交函數集去構造函數了。就像傅裏葉級數一樣。

施圖姆-劉維爾問題

這涉及的是一類的微分方程，簡短的篇幅是難以容納所有的內容的。而且微分方程還涉及到更多的前置內容。那麼只能儘可能的說明清楚了。

這是一個常微分方程的問題，但這是用於偏微分方程求解的前置內容。鑒於此，S-L問題不像一般的常微分方程是初值問題而是一個邊界值問題，應該就不難理解了。

應當從一個例子說起，不然跳躍性太大了。（後面寫了一半才發現）

例^[1]：

求長度為的細長垂直勻質柱體在恆定軸向力作用下的偏斜量，且柱體兩端都是鉸接在支撐物上的。

待解的邊界值問題為：

首先是一個解，但這個平凡解不是我們想要的。什麼時候有非平凡解？

令則方程化為：

則要分三種情況討論。

時，可以得到是平凡解。

時，得到：

代入得到，再代入得到：

由於，則那麼只有。也是平凡解。

時，得到：

代入得到，再代入得到：

而現在，是可以等於0的。自然也是平凡解，但是如果，那就有了不是平凡解的機會。

那麼，如果恰到好處的當：

的時候，就有非平凡解：

c=1，L=10，n=1,2,3,4,5

可以看到它們的確是滿足方程以及邊界值條件的。當然，柱子不會扭得那麼誇張。

更重要的是，它自然而然的導出了一個熟悉的正交級數：三角級數。當取從1開始的值的時候，就得到了的約束一一對應的函數，也就是柱子扭曲的形狀。

其中，此時得到非平凡解的稱為特徵值，相對應的非平凡解稱為特徵函數。

更進一步的就不深究了。這裡就會有一個疑惑： 幹嘛得是恰到好處的呢？要知道出一點偏差就是平凡解了啊。生活中的柱子難道都是這麼恰到好處的？還是都不會扭曲？畢竟在生活中可是先給出的值（先知道）再來求方程的，而不是由得到不同的。

這個矛盾先放一放，到後面就自然而然的解決了。不過需要認識到的是，這樣的邊界值問題的確可以導出一個能夠用來做正交級數展開的正交函數集。

正則施圖姆-劉維爾問題

其中是區間上的連續實值函數，並假設 .再者邊界條件的四個係數不依賴於，且不全為；不全為。

看上去很複雜的樣子。但是還請認真看一下。它裡面要求函數全是連續的，這理所應當的樣子。而且有兩個函數比較特殊的樣子，要大於零。最後就是兩個邊界值條件必須都存在。僅此而已。

要注意到，這個裡面也是有一個參數的。這個參數很微妙，它與之前不一樣，它不是給定的，而是任意的。任我們選取需要的值。那麼選取某些值或許就得到平凡解，某些值就是非平凡解。而且已經能夠知道，得到非平凡解的的值叫做特徵值，而這個特徵值對應的非平凡解叫做特徵函數。

然後是要幹什麼呢？這個問題是要求解嗎？

不是。

S-L問題不直接給出任何求得方程的解的方法，而是得到方程的解的性質：

1)、存在無窮多個實特徵值，它們可以按照參數的升序排列成：

而且有 .

2)、對於每個特徵值指對應一個特徵函數（及其常數倍）。

3)、對應於不同特徵值的特徵函數集關於權函數在區間上正交。

好，足夠了。理一下思路：

有一個含有參數的S-L方程 → 我們可以求出它的特徵值以及對應的非平凡的解 → 這些解（函數）正交 → 可以拿去做正交級數展開

要注意，正交只是在兩個邊界值以內的區間的，所以展開也是在區間之內，再次強調。而求解的話還是得自己老老實實的求，這裡偷不了半點懶。

舉一個例子：

例^[2]：

可見，且權函數 .

一樣的只有平凡解。在時，得到通解：

代入得到，再代入得到：

纔是我們的希望，於是就有：

這是tan x與-x

可以看到，交點就是。而且的確符合上面的第一個性質。

數值的求出前幾個解，有：

那麼就有特徵函數集：

這個正交函數集在區間上關於正交，在此區間上的（性質良好）函數就可以用這組正交集展開。

稍微證明一下最後一條，也是最重要的性質。實際上這個證明並不難。
設和分別是對應特徵值和的兩個特徵函數。那麼它們應當滿足方程，有：為消去無關緊要的，上式乘，下式乘相減：方程兩邊在區間內積分，有：所需要的就是等式右邊為0就好了。在邊界值條件裏可以解決之。首先關注在點的邊界值條件：，自然對於都是成立的：視要為求解的變數，其要滿足方程組，且不為0，那麼這方程的係數行列式應當為0: 在點的問題就解決了，點也是如此。因此等式右邊就是等於0。那麼就有：得證。

不過這還是脫離不了三角函數，看上去只是換了個碗而已。那只是因為我舉的是解恰好是三角函數這樣的一個例子而已。而舉這個例子的原因是簡單，好說明。

然後就要加速了。

奇異施圖姆-劉維爾問題

如果注意一下上面的證明的話，就會發現，似乎某些情況下在邊界處的邊界條件是不必要的。說的就是在：或者或者的情況下。

在以上三種情況下的，前面的形成的S-L問題就是奇異施圖姆-劉維爾問題。

在時，似乎不需要在點的邊界值條件就能得到證明裡面等式右邊的0。同樣的，則不需要在點的邊界值條件。

實際上還有一個問題，那就是得在這些特殊的點，特徵函數得有界。雖然是不再需要這個邊界值條件了，但如果是在這個點，如點，函數發散的話，那麼或許也拯救不了。

舉一個例子：

例^[3]：

這是典型的貝塞爾方程。在此先不給出邊界值的條件，因為具體的求解很複雜，就不具體求解了，重點是查看在處的性狀。

方程可以化成S-L方程的形式：

於是 , 以及用替代了，這個替換無關緊要。我們可以知道這個方程的解為：

由於那麼是不需要在處的邊界值條件的，最後只需要知道在處的邊界值條件即可。那麼對於時，通解只有有界，而發散，那麼有函數集：

在區間上關於權函數正交。在此區間上的（性質良好）函數就可以用這組正交集展開。

不過在這裡還沒求出具體的。求的話就像上面的一個例子一樣通過在點處的邊界值條件就可以求得，不過比較複雜，就不具體舉例展示了。不過如果邊界值條件具體給定的話，就一定能夠得到這樣的正交函數集用於正交級數展開。

這個例子就不再是三角函數了，那個碗就扔掉了。不過我們仍然得到了一個能用於正交級數展開的正交函數集。

那麼，對於這一類的S-L方程，只要任意的選擇，以及想要的邊界值條件，那麼就可以得到無窮多組在這個區間上的正交函數集，接下來就可以在這個區間內用這個集展開函數。

不過求方程的解倒的確是一個問題。但這也不是問題，級數解求解之後也是可以定義函數的嘛，就像定義貝塞爾函數一樣。

它有什麼用？

找到這些能用來展開的函數集當然不是沒意義的。

前面說過，這是用於偏微分方程求解的前置內容。這也是前面舉的那個具體的常微分方程物理問題例子裡面有所彆扭的地方。

在一般的常微分方程裡面是不會有這樣的一個任意的常數的，都是給定的常數或者參數。而這樣任意的常數在用分離變數法求解偏微分方程時是一定會出現在變換後的常微分方程裡面的。

求解偏微分方程的時候會有邊界值條件，並且依舊會有初值條件。邊界值條件一般是簡單的，那麼就可以先處理邊界值問題，像上面一樣求解，然後從任意的中選擇恰到好處的特徵值，然後得到一堆的特徵函數。這一堆函數都沒有問題，都滿足方程，但是一般來說都並不滿足初值條件。（平凡解就更不用說了）那麼通過疊加定理就可以通過級數展開的方式構造出滿足初值條件的解。

也就是說，S-L理論就是幹這個事的。找到能夠用來構造函數的正交函數集。它給偏微分方程的分離變數法求解提供了充足的保障。

在常見的方程求解中：

在坐標下求解時，會出現以三角函數作為正交集的函數構造。

在極、柱坐標下求解時，會出現以貝塞爾函數作為正交集的函數構造。

在球坐標下求解時，會出現以勒讓德函數作為正交集的函數構造。

當然，混合出現的也有。

更加具體的可見我的兩篇文章：

秋分丿：廣義傅裏葉級數與施圖姆-劉維爾問題（1）：理論基礎?

zhuanlan.zhihu.com秋分丿：廣義傅裏葉級數與施圖姆-劉維爾問題（2）：具體操作?

zhuanlan.zhihu.com

參考

^[美]Dennis G.Zill等著.微分方程與邊界值問題.陳啟宏等譯.北京:機械工業出版社,2005,10.190
^[美]Dennis G.Zill等著.微分方程與邊界值問題.陳啟宏等譯.北京:機械工業出版社,2005,10.417
^[美]Dennis G.Zill等著.微分方程與邊界值問題.陳啟宏等譯.北京:機械工業出版社,2005,10.418

感謝知乎推薦問題。請允許我標題黨一下：把一個函數展開成另一類函數可以與黎曼猜想等價！

一些比較基本的知識我就不多介紹了。經典的Fourier級數理論告訴我們，在裏是一組完備的正交基。這裡正交的意思是互相內積等於零，然後完備的意思是線性組合可以逼近任何平方可積的函數，通俗的說就是可以用這組函數作為基展開任何的函數。這裡正交不是特別所謂的條件，因為任何一組函數，都可以通過Gram-Schmit正交化得到一組正交函數。主要的問題是完備，也就是能不能逼近所有的平方可積函數，會不會存在不能被展開的函數。這實際上是一個非常困難的問題。

通常來說，比較自然地產生完備正交基的方法是考慮一個比較好的運算元，比如說是自伴隨的橢圓微分運算元，他的特徵向量全體就自動構成了一組完備正交基。比如前面的例子實際上是laplace運算元在特定邊值條件下的特徵向量。但是這裡我們換一個角度來看這族函數。

考慮定義在上的平方可積函數，我們先把做奇延拓到，然後再做週期2的延拓到，這仍記為 . 此時是一個週期2的奇函數。現在考慮在上的限制。在1945年，Beurling在seminar上提出了問題：上述函數組是否在中完備？Fourier級數理論告訴我們，時是成立的。但是一般來說肯定是不對的，比如我們取，那當然不是完備的。但是我們仍然可以考慮一些特別的所生成這種函數組的完備性。

下面我們考慮函數（花括弧{a}指a的小數部分），然後按照上面的延拓方法得到一個週期2的奇函數，仍記為 . 1940年左右，有一大批數學家各自意識到，這種函數所生成的函數組的完備性與數論中的問題，比如丟番圖逼近有關，所以會聯繫到數論中的命題的成立與否。大約1950s，Nyman和Beuring證明瞭(cf: 1,2)，黎曼猜想等價於函數組 在中的完備性！然後，03年Baez-Duarte證明瞭(cf: 3)，黎曼猜想等價於 在 中的閉包包含常值函數 ！也就是說，著名的黎曼猜想與這個用函數逼近的問題是一回事。

這就是黎曼猜想的重要之處了。單純從描述來看，黎曼猜想似乎是一個複變函數問題，但是又有很深的數論背景，同時可以聯繫到我們現在看到的這種泛函分析問題。所以一方面，如果黎曼猜想被證明或者證否，立刻會給許許多多的學科帶來革命性的突破；另一方面，從不同學科不同出發點都可能對黎曼猜想發起進攻，這就給黎曼猜想的解決帶來了無窮多的可能性。也許我們不能解決黎曼猜想，就是因為沒有找到一個這個猜想的合適的等價表述。

所以，奉勸那些什麼11歲小女孩啊高中生啊什麼的，如果非要把一個解決猜想作為目標，黎曼猜想比什麼哥德巴赫猜想不知道高到哪裡去了。

參考文獻：

1 A. Beurling, A closure problem related to the Riemann zeta-function. Proc. Nat. Acad. Sci., 41, 312-314, 1955.

2 B. Nyman, On some groups and semigroups of translations. Thesis, Uppsala, 1950.

3 L. B′aez-Duarte, A strengthening of the Nyman-Beurling criterion for the Riemann hypothesis, Atti Accad. Naz. Lincei Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. Rend. Lincei (9) Mat. Appl. 14(2003), 5-11.

可以是可以，但是很難，也不是行之有效的。

下面我們在本科數學分析和線性代數的基礎上探討一下。

假設現在我們有一系列函數作為級數中的成分函數，可以是冪函數，也可以是三角函數。我們想把一個函數展開成級數的形式

注意到，由所有可以被展開成線性組合的函數構成了一個線性空間，因為，如果有兩個函數都能在下展開

那麼他倆的線性組合必然也能在下展開

這樣就能把函數看成是線性空間裏的向量，那麼構成了一組基底。於是所謂的展開，就是求一個向量在一組基底下的分量。

然而一般由函數構成的線性空間都是無窮維的，為了降低難度，先從有限維線性空間開始研究。

對於維線性空間中的一個向量，我們想要求它在一組基底下展開的係數，於是可以列方程

或者

其中是個的矩陣，。

由於基底是最大線性無關組，所以滿秩，因此存在唯一解。我們當然可以用

的方法計算。不過我們一般都喜歡在單位正交基下展開，因為這樣會大大減少計算量，不用去求矩陣的逆這種複雜的運算。對於單位正交基，有

也就是除了第位置的元素為1，其他元素都為0。

我們在方程兩端同時左乘

便得到

進一步得到

這樣，我們無需求的逆就能算出展開係數。

我們能否把這個思路套到非正交基上呢？可以，利用特徵值分解

於是我們的方程就變成了

進一步

我們引入中間變數，，於是就有

由於是對角陣，所以直接就有

於是

我們再利用算出所求係數。

這種方法看似比直接求的逆要麻煩許多，但是提供了一種很重要的思路，能讓我們從有限維空間拓展到無窮維空間。在線性代數中，一個矩陣可以看做是一個線性變換。又因為是滿秩的，就構成了同構映射。在所在的線性空間中，的每個分量與的所有分量都有關係，所以頗為複雜。而變換到所在的空間後，的分量只與的分量有關係，處理起來就簡單許多。

那麼到無窮維的線性空間中，函數該如何展開呢？先從最簡單的正交基開始。

在函數空間中，要討論正交性，先定義內積。一般函數和的內積定義為

積分上下限根據不同的空間要做對應的調整，注意第二個函數要取共軛。在這個內積的定義下，函數與正交就意味著

現在要求一個函數在一組正交基下的展開係數

可以引入無窮維向量，則我們的係數方程可以表示為

其中

我們定義線性運算元

仿照有限維的做法，在方程兩端同時作用得到

進一步得到

於是我們很容易就求得了展開分量

這便是在傅裏葉級數展開中常用的方法。傅裏葉級數（或三角級數）的基底是。在週期為的週期函數空間中，內積的定義是

所以我們有

所以

就和計算傅裏葉級數的公式一樣了。

那麼對於非正交基底的情況，就得參考有限維空間裏的特徵值分解了。我們重寫一下求展開係數的方程

用線性運算元（或線性變換）的眼光去審視，我們可以把方程改寫成

意思是，我們把的線性組合反過來看成是對的線性映射，把無窮維向量空間映射到函數空間。這種線性映射不一定是緊的，也不一定是有界的。假設譜分解存在，那麼我們就能找到一個酉運算元使得

這裡是乘法運算元，定義為

對比有限維空間中的對角矩陣滿足的

就能明白這裡面的思路了。

所以我們的方程化為

於是

於是，仿照有限維的情況，我們把看做是空間的變換，於是在變換後的空間中就有

又因為是乘法運算元，於是有

再還原回原來的空間，就得到了我們想求的展開係數。

然而這裡的問題是，這一步是非平凡的，甚至不存在的。比如題主想求的在類基底下的展開，因為和都不滿足線性獨立，因此連基底都做不成，而這種形式的基底譜分解就更難了，只有這種還算是能直接套用泰勒級數的。

對於非正交基底，除了用譜分解（特徵值分解）外，泰勒級數還提供了另一種思路。泰勒級數（或洛朗級數）的基底在通常內積的定義下是非正交的，但是人們巧妙地找到一種與正交非常類似的思路。

仿照正交基底情況下我們定義的線性運算元，我們定義求導運算元

同樣也是線性運算元。這種運算元對於多項式基底有類似於正交的性質

其中是克羅內克符號，只有時取1，其他情況都取0。於是我們在方程兩邊同時作用

得到

於是

這就回到了我們非常熟悉的泰勒級數的通項公式。

然而對於一般的基底，尋找一個線性運算元滿足

的過程是非平凡的。

所以人們為什麼愛用泰勒級數和傅裏葉級數（三角級數）呢？因為簡單。想要展開成別的基底不是不可以，但是實在是無法行之有效。

為簡單起見只討論有限閉區間上的一元實函數，不失一般性設定義域為[0,1]。一般語境下討論的都是連續函數(在可數個點處有第一類間斷點的分段連續也行)集C，這是L2的一個稠密子集，而L2是希爾伯特空間，有標準正交基(三角函數系算是一種)，且基集不唯一。也就是說有無限多種方法可以把C上的函數分解成級數。

題主想把它們分解成給定函數集的級數，只需要驗證給定函數集裏的函數是否相互線性無關就行了(驗證某個元素在其他元素張成的空間上的投影是否與自身相等)。只要是線性無關的，用格萊姆施密特方法標準正交化一下，就是標準正交基。

如果給定函數集是有限的，比如題主只指定第一個函數log(1+x)，這裡因為定義域是[0,1]，所以用1+x以保證連續，只用往後增補1,x,x^2……，剔除線性相關元，再標準正交化即可。

有答主指出任何一個微分運算元都對應一個基集，其實任何一個緊運算元都對應一個基集，但需要驗證這個基集是否是完備的(驗證運算元的零空間是否平凡)。

如果沒有明確物理含義，單從數值計算的角度出發，將一個函數正交分解，個人建議用勒讓德多項式系，對於足夠光滑的函數來說收斂賊快，截取三四項就已經具有極高的精度了，計算也很簡單。

除了正弦波以外，方波、三角波應該也是ok的吧