關於一道圓錐曲線十字架定點問題的求解

(1）橢圓的方程為

(2)思路分析：考慮到極限情況，當 時，直線 即為 軸，所以如果 恆過定點，此定點必在 軸上，此舉為我們順利找到定點指明瞭方向.當 關於 軸對稱時 軸，此時 橫坐標即為定點橫坐標.在解題過程中不要漏掉這幾種特殊情況的說明.

常規解法：設 所在直線斜率分別為 當 有一個為0時，直線 即為 軸；當 時 此時 軸.

下設 均不為

直線 方程為

設

聯立方程

消去 得方程

於是

Tips:當 時，中點橫坐標為 所以定點應該為

代入到直線方程中去得

於是 同理可得

由於 所以

直線 的斜率為

直線 的方程為

於是當 時上式恆成立.即直線 恆過 點.

在這裡我寫得這麼詳細，是說不要被這麼長的式子嚇倒，化簡是很輕鬆滴.

下面再說明一些特殊情況.

當 有一個為0時，直線 即為 軸，也過 點;

當 時 時

直線 方程為 ,也過 點.

綜上，直線 恆過 點.

方法二：

在方法一中我們得到

於是 即

其實有一性質，簡單來講就是

上弦 中點為 ,則

為簡化，重新設 得到關係式

可得

所以 必在橢圓

且與原點連線的斜率乘積為