自動控制原理要點---第五章 頻域分析
1、頻率特性：穩定的線性定常系統在正弦信號的作用下，系統輸出的穩態分量與輸入的複數之比；其中，輸出的穩態分量振幅與輸入的振幅比A(w)稱為幅頻特性，輸出的穩態分量相位與輸入的相角之差φ(w)稱為相頻特性，即
2、頻率特性的幾何表示
- 幅相頻率特性曲線：(簡稱幅相曲線或奈氏曲線或極坐標圖)：當w從0→∞變化時，G(jw)在複平面上的運動軌跡。畫圖方法：
法一：對每一個w值計算幅值A(w)和相角φ(w)，然後描點並將這些點連成光滑曲線；
法二：對每一個w值計算U(w)、V(w)，然後描點連線。
- 對數頻率特性曲線：（簡稱對數坐標圖或伯德圖）
①對數幅頻特性：
②對數相頻特性：
③橫坐標是頻率w，採用對數分度，單位是rad/s； 對數幅頻特性曲線的縱坐標為對數幅頻特性的函數值，採用均勻分度，單位是dB；對數相頻特性曲線的縱坐標為相頻特性的函數值，採用均勻分度，單位是（°）。
註：採用對數顯著優點是將頻率特性的幅值乘除變為相加減，簡化作圖。
3、 典型環節的頻率特性
①比例環節 G(s)=K
幅相頻率特性： G(jw)=K，幅頻特性 A(w)=K； 相頻特性 φ(w)=0°；曲線為實軸上一點。
對數頻率特性：L(w)=20lgK； φ(w)=0°
②積分環節G(S)=
幅相頻率特性：G(jw)=
對數頻率特性：L(w)=20lg；幅頻特性： A(w)= ；相頻特性：-90° =-20lgw； φ(w)=-90°
③微分環節G(S)=S(純微分)
幅相頻率特性：G(jw)=jw；幅頻特性：A(w)=w； 相頻特性：φ(w)=90°
對數頻率特性：L(w)=20lgw；φ(w)=90°
一階微分環節G(S)=Ts+1
幅相頻率特性：G(jw)=Tjw+1；A(w)=
對數頻率特性：L(w)=；φ(w)=arctanTw ；φ(w)=arctanTw【 時，L(w)≈20lg1=0， 時，L(w)≈20lgTw】
註：在w=1/T時，低頻漸近線和高頻漸近線相交，稱為交接頻率。
二階微分環節G(S)=
幅相頻率特性:A(w)=
；φ(w)=arctan 【w=0時，A(0)=1，φ(0)=0°；w=1/T，A(1/T)=2ζ，φ(1/T)=90°；w=∞，A(∞)=∞，φ(∞)=180°】
對數頻率特性：L(w)=20lg；φ(w)=arctan 令 =0有： = ； =A( )= ζ越小，wr越接近wn，諧振值 越小；當ζ大於 時，將不發生諧振，即A(w)隨著w增大而單調增大。
④慣性環節G(S)=
幅相頻率特性：G(jw)=
【當w=0時，A(0)=1，φ(0)=0°；當w=1/T時， A(1/T)=；A(w)= ；φ(w)=-arctanTw ， φ(1/T)=-45°；當w=∞時，A(∞)=0，φ(∞)=-90°】對數頻率特性：L(w)=20lg ，φ(w)=-arctanTw【 時，L(w)≈20lg1=0， 時，L(w)≈20lg 】
⑤振蕩環節G(s)=
幅相頻率特性：A(jw)=
【當w=0時，A(0)=1，φ(0)=0°；當w=1/T=wn時，A(1/T)= 1/2ζ，φ(1/T)=-90°；當w=∞時，A(∞)=0，φ(∞)=-180°】【令；φ(w)=-arctan =0，有諧振頻率 = ，諧振峰值： =A( )= 當 固定， 越小， 越接近 ， 越大；當ζ大於 時，將不發生諧振，即A(w)隨著w增大而單調減小】
對數頻率特性：L(w)=-20lg
【；φ(w)=-arctan 時，L(w)≈20lg1=0， 時，L(w)≈-20lg 】
⑥延時環節G(S)=
幅相頻率特性：G(jw)=
；幅頻特性：A(w)=1；相頻特性：φ(w)=-57.3τw 對數頻率特性：L(w)=0；φ(w)=-57.3w
①積分與微分環節
比較：
4、繪圖
- 奈氏曲線製圖方法：
①起點:令w→0，則
0型系統：始於實軸(K,j0)的點
Ⅰ型系統：始於相角為-90°的無窮遠處;當w趨於0+時，曲線與虛軸平行Ⅱ型系統：始於相角為-180°的無窮遠處;當w趨於0+時，曲線漸進與負實軸平行
②終點:
③與實軸的交點:令Im[G(jw)]=0，求出交點頻率w1，代入Re[G(jw1)]。
④與虛軸的交點:令Re[G(jw)]=0，求出交點頻率w1，代入Im[G(jw1)]。
⑤變化範圍(象限、單調性）
若無一階微分環節：相角單調減小，曲線平滑變化
若有一階微分環節：相角可能不是單調變化，曲線會出現凹凸現象
- 伯德圖製圖方法：G(jw)=
(jw) (jw)... (jw)= =A(w)
對數幅頻特性：L(w)=20lgA(w)=20
對數相頻特性：φ(w)=傳遞函數由n個典型環節串聯起來，那麼其對數頻率特性曲線可通過線性疊加而成。
5、最小相位系統：傳遞函數在S右半平面上沒有零、極點。相角變化範圍最小。
非最小相位系統(在S右半平面上有零、極點；相角變化範圍大於最小相位系統）
最小相位系統：對數幅頻特性曲線的變化趨勢和對數相頻特性曲線的變化趨勢一致。檢查系統在w→∞時的相角是否等於-90°(n-m)，可判斷系統是否為最小相位系統。
6、穩定性判據
- 輔助函數
F(s)的零點zi為閉環傳遞函數的極點，F(s)的極點pi為開環傳遞函數的極點;
F(s)的零點和極點數目相同;F(s)和Gk(s)相差1.
在複變函數映射F下，s平面上任選一點s，在F(s)平面上找到一個對應的點；點
當s沿Γs變化時，F(s)的相角變化為
例如，假定s平面上Γs包圍了F(s)的一個零點z1，而其他零極點都位於Γs之外，那麼當動點s在s平面上圍繞著這條曲線，順時針走一圈的時候，只有z1的相角變化了-2π，其他的點都沒有變化，因此△∠F(s)等於△∠(s-z1)，F(s)的相角變化為-2π，說明F(s)在F(s)平面上順時針繞原點走了一周。同理，當有Z個零點時，對應F(s)就順時針走Z周，當有P個極點時，對應F(s)就逆時針走P周。
- 幅角原理：s平面上的封閉曲線Γs包圍了F(s)的Z個零點和P個極點，則s沿Γs順時針運動一周時，F(s)沿ΓF曲線按逆時針方向包圍坐標原點的周數N滿足：N=P-Z。
- 奈奎斯特穩定判據
由於
①s沿Γs正虛軸變化，通過
②s沿Γs無窮大半圓變化，因為n≥m，當|s|→∞時，所以映射到ΓF，即奈奎斯曲線； →0，映射F(s)平面上原點。③s沿Γs負虛軸變化，在F(s)平面映射是極坐標圖關於實軸的鏡像。
閉環系統穩定的充分必要條件：
Z=0，即N=P，其中Z為
在s 右半平面零點數(即特徵方程根在s右半平面個數)；N為奈氏曲線(即 在s由 時的曲線) 逆時針包圍臨界點（-1，j0）的周數，P為 在s 右半平面極點數(即 在s右半平面極點數)。
註：如果只需畫w從0~∞時，公式變為Z=P-2N。
註：對於0型系統，只要畫出
註：對於I型II型系統，即
註：有時圍繞點(-1，j0)的逆時針和順時針同時存在，造成計算困難，此時可通過曲線在（-1，j0）點左側負實軸上穿越次數來獲得N：N+表示(半)正穿越次數，N-表示(半)負穿越次數，有N=(N+)-(N-)。
註：最小相角系統G(jω)過(-1,j0)點時，閉環系統臨界穩定。
- 對數頻率穩定判據：w從0~∞且Z=0時，N=P/2，即在L(w)＞0的區間內，φ(w)曲線對-180°線的穿越次數N為P/2。
奈氏曲線和Bode圖的關係：
①單位圓對應0分貝線，單位圓之外對應0分貝線以上（L(w)＞0），單位圓之內對應0分貝線以下（L(w)＜0）；
②奈氏曲線上負實軸對應於Bode圖曲線上的-180°線。③利用L(w)＞0的區間內，φ(w)曲線對-180°線的穿越次數來計算N，在L(w)＞0中，從上向下為負穿越，從下向上為正穿越。
7、性能指標
- 穩定裕度(要綜合考慮幅值裕度和相位裕度)
①相位裕度γ：開環頻率特性的幅值為1時，此刻頻率ωc為截止頻率，其相角與180°之和定義為相位裕度 γ=180°+
②幅值裕度hg：相頻特性為-180°時(與負實軸相交)，此刻頻率ωg為相位穿越頻率，點(-1,j0)幅值與
- 動態性能(常採用相位裕度γ和截止頻率
來刻畫)
③截止頻率wc： 為
- 穩態性能：與低頻段斜率(即積分環節數目/型別)和點A(與系統放大係數即誤差係數)相關。
8、頻率性能指標和時域指標的關係
- 典型二階系統（0<ζ<1）
①穩定性：幅值裕度無窮大(其幅相曲線永遠不會穿越（-1，j0）)的左側。
②動態性能：
由wc定義有
相位裕度
超調量：
調節時間：
9、頻率分析的特點：
①頻域穩定性是根據開環特性研究閉環系統的穩定性，不必求閉環特徵方程式（在傳遞函數未知情況下，無法使用勞斯判據或者根軌跡法判斷閉環穩定性，這時利用實驗方法測出其系統的開環頻率特性曲線，可分析系統的穩定性，還可指出系統的穩定裕度）。
②頻率分析法不僅適用於線性定常系統，還可以應用於某些非線性系統。
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