7.5 Lebesgue 積分單調收斂定理加強版

這裡，我們把單調收斂定理中幾乎處處的條件進一步削弱，結論仍然成立。證明主定理之前，我們需要先證明兩個引理。令為一完備測度空間。

Lemma 7.10 給定可測集合列 , 我們有 , 那麼

證：令 , 則 , 於是由 3.1 節 Proposition 3.5 可知，。同時，

接下來，我們證明
, 那麼至少對於某個 , 我們有 ; 同時 , 於是至少 ; 所以存在某個 , 使得。令，故 , 即，。所以 , 於是：注意到 , 故且 , 於是：

最後，我們來證考慮集合。 , 通過上一步類似的推理，我們內容能夠找到 , 使得。所以 , 那麼。於是兩邊對取極限, 得： , 證畢。

Lemma 7.11 給定可測集合列，且。若是集合上的簡單函數 (註：根據 Definition5.13 的定義版本，簡單函數是自動可測的)，那麼

證：令 , 則。

(式 7.4)
注意到 , 故。於是由 Lemma 7.10 知，。所以 (式 7.4) , 證畢。

Theorem 7.12 令為非負可測函數列，且在上 , 即， , 其中。同時我們要求在上， , 其中也是個零測集; 也就是說存在集合為一零測集，使得。那麼：

(注意到是一個完備測度。)

證：因為 , 所以。故存在 ( 這邊的存在比較廣義，有可能是無窮大) 。 , 因此，。所以

註：可測，由 Proposition 5.8，也都可測。極限存在的集合是可測的，也是可測的.
接下來我們要證明。任取定義在上的非負簡單函數，令 , 集合。注意到我們不一定有，因為我們的條件是 , 故有可能在是上。但是注意到 , 於是。因為 , 又是完備測度，我們有：。注意到： (式 7.5)，兩邊同時取極限：

, 由 Lemma 7.11 得：
, 因為是任取的，我們有： (式 7.6)現在我們來更多了解一下集合。任取，那麼另一方面，若上面的也滿足：我們有這個極限存在。於是 , 我們得到了。這是不可能的，矛盾。於是： , 也就是說： , 所以： , 又 , 我們有：。那麼，，這是因為。所以 , 是代入 (式 7.6)，得：所以是的一個上界，必然不小於最小上確界：。綜上，，證畢。