7.1 Lebesgue 積分的單調收斂定理

Lebesgue 積分的一個重要定理就是單調收斂定理。令為一測度空間。

Theorem 7.1 設是非負可測的實值函數列，且 ; 那麼

證：由第六章 Proposition 6.3 (2), 是一個上升實數列，且上界為 (因為 )。令 , 則。接下來我們要證

令為任一非負簡單函數。任取 , 令。因為給定任意 , 且 ; 所以 , 即。於是任取 , 我們都有：
由 Proposition 3.5 (3) 可知：於是，對上面不等式兩邊令得：

, 因為是任取的，我們有：
，取上確界得：。證畢。

注1：上述定理中提到的極限可以是一個有限的實數，也可以是正無窮大

注2：注意到 , 所以上面的結論對在一個的子集上也成立注3：注意到不需要對所有都成立；當我們把條件弱化為幾乎處處成立時，定理的結果不變。

Example 7.2 令 , 那麼。但是 , 其中。故。這裡，單調收斂定理不適用，因為這裡的不是非負的。

Example 7.3 令。那麼 , 但是。這裡，單調收斂定理也不適用，因為這裡的沒有幾乎處處的上升到 - 比如，。