7.2 Lebesgue 積分的線性性

記得在 6.1 節中，我們證明瞭 , 但同時我們也說還有待證明。7.1節有了單調收斂定理，現在我們可以來證明線性性。

Theorem 7.4 若 1) 是非負可測函數、或者 2) 是 Lebesgue-可積的，那麼：

證：首先設為非負簡單函數，令 , 不失一般性的，我們可以設，分別劃分了 (partition of )。於是我們有：
, 所以：

接下來，我們設為非負可測函數。取非負簡單函數列 , 非負簡單函數列，那麼也是一個非負簡單函數列，且。根據單調收斂定理 Theorem 7.1, 我們有：最後，設為實值可積函數，但是在定義域上的取值可正可負。因為： , 所以也是可積的。注意到：

, 我們有: , 這裡面所有的函數都是非負的，於是根據線性性： , 也就是說：
若為復值函數，把上面是實值的結論分別運用到復值的實部跟虛部即可。證畢。

Proposition 7.5 設是非負可測函數，那麼。

證：令，因為 , 運用到 Theorem 7.1 跟 Theorem 7.4，我們有：

(式 7.1)其中，式 7.1 用到了 Theorem 7.1 跟 Theorem 7.3.證畢。

註：這個定理被稱為 Beppo-Levi 定理，它對也成立。

Lemma 7.6 在上連續，則在上是 Lebesgue-可積的。

證：由 1.2 節 Proposition 1.2，在是一致連續的，也就是說。令是的一個有限分割 (partition)，其中每個都是一個區間且廣義直徑。任取，令；。於是 , 且保證了。因為隨著增加而遞減，且有下界 , 所以它的極限存在，收斂到。對於任一非負簡單函數，我們都有 , 又是最大下確界，所以: , 於是。證畢。

註：事實上。注意到，這裡我們用到了簡單函數積分的線性性 (所以只需要 Theorem 7.4 的第一部分) 和 Proposition 6.4。因為是任意的，所以我們只能有

最後給一個例子，用到了 Proposition 7.5：

Example 7.7 求證：注: 上面等式右邊的級數不是絕對收斂的。證：，這個等式右邊的級數是絕對收斂的，故我們可以重新排序 (re-order) 級數裡面的相加項：。注意到是連續函數，所以是 Lebesgue-可積的 (Lemma 7.6)。於是：