6.1 Lebesgue 積分的定義和簡單性質

Definition 6.1 令為一測度空間，若是一個非負的可測簡單函數，定義的 Lebesgue 積分如下：

(式 6.1)定義中如果而 , 我們規定。若是非負可測函數，那麼我們定義的 Lebesgue 積分為： (式 6.2)

定義中為可測簡單函數。

若是可測(實函數)，令 , 。這裡我們要求至少有一個是有限的，定義：最後，若是復值函數，且 , 我們定義：

注意簡單函數會有多種不同的表達方式，如：。不難看出的定義不受影響，即，若 , 則。(註：可以令來證明)

若是一個簡單函數，那麼我們還需要驗證定義中的 (式 6.1) 跟 (式 6.2) 是為吻合的 (註：很容易可以確認他們是吻合的)

我們經常作這個簡寫：。當非常明確是哪個測度被用於 Lebesgue 積分是，我們也會簡寫積分為。有時候也會把積分寫成或。

當我們把對於 Lebesgue 測度做積分時，我們一般就簡寫: , 同時定義: 。這就無縫銜接到微積分慣用的寫法了。

列舉一些簡單函數 Lebesgue 積分的性質，令為非負可測簡單函數，記 ; 下面所涉及的所有集合均是屬於的。由定義可得：

(1)

(2) (3) (4) (5) 註：我們有時候還會記集合 , 其中為簡單函數。

Definition 6.2 我們稱是可積的 (integrable)，或者稱 -可積，若是可測的且。把稱為在集合上是 -可積的；有時候記作

Proposition 6.3 以下是關於一般函數 Lebesgue 積分的一些簡單性質：

(1) 若是實值可測函數, , 且 ; 那麼 (2) 若是可測、實值、可積的函數，且 ; 那麼

(3) 若是可積的；那麼

(4) 若 , 且是可積的；那麼 (5) 若 , 則 (6) 若 , 則

證：我們選一些來證明。
(3) 這個結論不光對全空間的積分成立，對任意集合上的積分也成立。首先證明是非負實值函數、是非負實數的情況：若 , 顯然成立。我們可以設。若是一個非負可測簡單函數，且，那麼也是一個非負可測簡單函數，且。於是有 Lebesgue 積分定義 (sup), ，這就是說是的一個上界。同時由積分定義可知是的最小上界 (supremum); 故: 而另一方面，若 , 那麼 ; 於是。所以是的一個上界，而是的最小上界，故。綜上，我們有。我們可以用類似 +/- 分解來證明對一般的實值函數跟實數，這個等式也成立。最後複數就是分解成實部跟虛部，也能證明等式成立。(4) 首先對於簡單函數: , 故。於是對於 , 。對於一般實值函數，分解成。對於復值函數，分解成。(5) 注意到

註：(2) 中若把條件放寬到 , 結論仍然成立。
(6) 令在處了零測集以外的地方都相等。由 (4) 跟 (5) 可得:

Proposition 6.4 若是可積的；那麼

證：首先考慮為實值函數。因為，我們有 ; 同時，於是。把這兩個不等式合起來就是我們的結論。
當是復值函數時，也是一個複數。若這個複數為0，那麼不等式自然成立。若不為0，那麼我們把積分寫成。那麼。從上面的復值函數的 Lebesgue積分定義可知 , 又因為 , 我們有： , 證畢。註：表示取複數的實部，表示取複數的虛部。

註：當為實值函數時，Proposition 6.4 中取等號，當且僅當或。

Corollary 6.5 設 , 為非負可測函數，。令 , 那麼且

證：由 Proposition 6.3 (1) 可得

最後注意，到目前為止，對於一般的函數，我們還沒有證明 Lebesgue 積分的線性性，即：。我們會在後面證明。