【物理學家的數學工具箱】之矢量分析(2)

2. 矢量的分量

目前為止, 我們還沒有在一個坐標系中討論矢量. 雖然矢量的運算和定義都獨立於任一坐標系, 但是終將用其解決實際問題, 因此我們要選擇一個坐標系.

首先, 選擇我們熟悉的直角坐標系. 為了簡單, 先將自己限制在二維繫統中, 即平面, 再推廣到三維繫統. 設有一個矢量 , 將它的起點放在原點, 其沿著軸和軸的投影稱為的分量, 分別記為和 . 的大小是 , 方向用其和軸的夾角表示: .

因此, 我們可以從分量的角度來定義一個矢量, 有

更一般的三維情形下, 有

可以用三維直角坐標系證明要注意到的是, 矢量本身與坐標系無關, 但其分量則依賴於具體的坐標系.

根據以上的討論, 我們現在可以把矢量運算都寫成分量的形式, 例如標量乘法寫為

向量加法為

通過對應坐標軸分量相乘再求和, 得到點積

對於叉積則要引入基底矢量的概念.

3. 基底矢量

基底矢量是一組正交的(相互垂直)的單位矢量, 一個基底矢量對應一個維度. 對於三維直角坐標系, 其三個基底矢量分別沿著三個坐標軸. 我們使用來分別表示軸, 軸和軸的基底矢量.

基底矢量具有如下性質, 你可以試著自己進行證明:

因此, 我們可以用分量和基底矢量來表示任意三維矢量:

為了得到一個矢量在任意方向的分量, 只需用那個方向的基底矢量進行點積. 例如, 矢量的軸分量為

在推導兩個矢量對於其分量的叉積結果的一般規則方面, 基底矢量非常有用:

考慮第一項:

由於且 ,得到

類似地, 對剩下的兩個分量進行運算, 得到

我們通常用三階行列式來進行記憶它

物理學在力學, 電磁學和場論中頻繁地使用矢量方法, 這裡只介紹的一般地性質, 對於一些具體的物理分支, 如電動力學, 將會使用並記憶矢量的一些推論, 在之後文章中也會提到.