7.3 Fatou 引理

這一節單獨來介紹一下 Fatou 引理 (Fatous Lemma)。

Theorem 7.8 設是非負可測函數，那麼

證：令 , 則也是非負; 由 Proposition 5.8，也是可測的; 且。 , 故。

於是我們有： (式 7.2)。我們對不等式兩邊同時取極限，並運用 Theorem 7.1 得： , 證畢。

Fatou 引理的一個典型運用場景如下：設我們有且。那麼首先我們有。然後根據 Fatou 引理得：

註：我們可以在非負可測函數上做一些拓展。比如若是非正可測函數，那麼就是非負可測函數，則

再比如，若是一般的可測實值函數，是可積函數，且 a.e.，那麼

最後，給一個例子。令 , 則。這裡 Fatou 引理就不成立了，因為需要的前提條件不滿足。