7.3 Fatou 引理
這一節單獨來介紹一下 Fatou 引理 (Fatous Lemma)。
Theorem 7.8 設
證:令
, 則 也是非負; 由 Proposition 5.8, 也是可測的; 且 。 , 故 。 於是我們有:
(式 7.2)。我們對不等式兩邊同時取極限,並運用 Theorem 7.1 得: , 證畢。
Fatou 引理的一個典型運用場景如下:設我們有
註:我們可以在非負可測函數上做一些拓展。比如若
最後,給一個例子。令
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Theorem 7.8 設
證:令
, 則 也是非負; 由 Proposition 5.8, 也是可測的; 且 。 , 故 。 於是我們有:
(式 7.2)。我們對不等式兩邊同時取極限,並運用 Theorem 7.1 得: , 證畢。
Fatou 引理的一個典型運用場景如下:設我們有
註:我們可以在非負可測函數上做一些拓展。比如若
最後,給一個例子。令