11.3 Fubini-Tonelli 定理
這是一個很重要的定理,也是本章的重點。這個定理可以交換積分的順序。
我們先簡單闡述一下 Fubini 定理跟 Tonelli 定理,然後重點證明一下 Fubini-Tonelli 定理。
Fubini 定理:令
註:若 Fubini 定理中函數
Tonelli 定理:把 Fubini 定理中
一般而言,
把 Fubini 定理跟 Tonelli 定理的條件結合起來,就得到了 Fubini-Tonelli 定理:
Theorem 11.6 令(3) 函數
證:首先由 Lemma 11.1, (1)-(2) 成立。
若
若, 那麼 (3)-(5) 就是 Lemma 11.1 和 Proposition 11.2 的結論。由可測函數的線性性以及積分的線性性 (Proposition 5.7 和 Theorem 7.4),(3)-(5) 對簡單函數 也成立。 是非負函數,那麼由 Proposition 5.14, 我們可以找到一列簡單函數 。令 。則 且 。運用 Lebesgue 單調收斂定理 (Theorem 7.1), 可知 ,於是由 Proposition 5.7 可得 (3)-(4) 成立。再次運用 Theorem 7.1 可得 (5) 也成立。若 是可積的,分解 ,則利用線性性可知 (3)-(5) 對 也成立。注意這裡 的可積性保證了 。證畢。
注意到如果我們有:
當函數
我們來看一個例子,主要是想展示一下兩個完備測度空間
但是,我們可以對乘積測度空間
我們先證一個引理,再證主定理。
Lemma 11.8 令
證:令
令, 那麼 且 。由 4.6 節 Theorem 4.18中可測空間完備化的定義中我們可以找到一個可測集 ,使得 且 。根據 11.2 節 Proposition 11.6 可知 , 則 ;這是因為若 , 則 ,矛盾。同時我們有 。因為 且 是一個完備測度空間,於是 且 。由上面集合 的構造可知,若 我們有 。於是我們可得: , 是 -可測的, 且 a.e. ( )。 同理可證 。證畢。
Theorem 11.9 令
證:首先運用 5.4 節 Theorem 5.19,我們可以把
Lemma 11.8 告訴我們分解成兩個函數: , 其中 a.e. ( ), 而 是 -可測的。(註:由 Theorem 5.19,我們可以找到 a.e., 而 的作用就是在 的零測集上把它們不相等的差值給補上)。由 Theorem 5.19 的證明可知,當 非負的時候, 也是非負的;當 是可積的時候, 自然也是可積的;所以,函數 是滿足 Theorem 11.6 的條件的,故 Theorem 11.6 對函數 是成立的 a.e. ( ) 對幾乎所有的 成立; 同理可證 a.e. ( ) 對幾乎所有的 成立。這就證明瞭 (3), (4)。同時,Lemma 11.8 也告訴我們 (1), (2) 成立。由 (1)-(4) 可知, 的重積分 (double integral) 和兩個迭代積分 (iterated integral) 的值分別跟 的重積分和兩個迭代積分的值相等,這就證明瞭 (5)。證畢。
我們可以很容易的把 Fubini-Tonelli 定理拓展到
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