Definition 9.1 令 是有界函數，令 是區間 的一個分割 (partition)，其中 。令:
,
定義如下兩個階梯函數 (step function), 令
：
,
則
。令：
那麼顯然 。定義：
我們說 Riemann 積分
存在，當且僅當
註：由以上的定義，若
不是有界的，則它不是 Riemann 可積的。
註：上面定義的階梯函數 就有點簡單函數的味道，而 跟簡單函數的 Lebesgue 積分類似，最後， 和 Lebesgue 積分也很接近。
Definition 9.2 區間分割的細化 (Refinements of partitions)。令 是區間 的兩個分割。稱 是 的一個細化分割，若每一個由 分割的區間 都可以寫成一個或多個 分割的區間 的 "幾乎"無交並 (這裡 "幾乎" 是指我們允許 的區間端點可以重合)
註：直觀理解,
保留了
中所有的分割點，然後在此基礎上插入了更多的分割點；可以記成，
Example 9.3 考慮區間 上的分割： ; 則 是 的一個細化，但 卻不是 的一個細化。
Theorem 9.4 是區間 上的有界函數, 是 的兩個分割。 是 的細化，即 ；則 ，且 。
證：略。
Corollary 9.5 是區間 上的有界函數， 是 的兩個分割, 則
證：取分割 ，使得 , 由 Theorem 9.4 知：
, 證畢。
下面介紹一下 Riemann 可積的 Cauchy 條件
Theorem 9.6 有界函數
是 Riemann 可積的，當且僅當
證： 任取 , 我們可以找到一個 的分割 ，使得 。因為 我們有：
。 是任取的，所以我們必須有 , 故 是 Riemann 可積的。 因為 是 Riemann 可積的，任取 , 我們都能找到 的分割 , 使得： 我們取分割 為 共同的細化，根據 Corollary 9.5 我們有： 因為 是 Riemann 可積的，我們有 , 於是上面的不等式就變成了 ，證畢。
Proposition 9.7 Riemann 積分的性質。令 都是 Riemann 可積函數，
(1)
,
(2) 若
, 那麼
(3) 若
, 那麼
(4)
也是 Riemann 可積；若
且
有界，則
也是 Riemann 可積(5)令
，則
證：略。
Theorem 9.8 若 是 Riemann 可積的，那麼 也是 Riemann 可積的，且：
證： 略。
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