複變函數學習筆記(13)——單位圓盤上的自同構群(用了近世代數)

參考資料：Stein複分析第8章的Problems4

本節我們證明如下定理： （慶祝一下首次做出Stein複分析的Problems題目！！！！）

首先我們回顧一下筆記(10)的內容.

fjddy：複變函數學習筆記(10)——共形映射、單葉解析函數?

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下面為方便起見, 記單位圓盤為記單位圓盤上的自同構映射是

命題8.2.3 記則

在這個命題里我們順便說明了

定理8.2.4

回顧完成，我們進入正題！

定義1 形如且滿足如下條件的矩陣組成的集合記為
這裡換句話說, 對任意的有

定理1

證明: 記注意到這裡表示W的共軛轉置, 由於則則解方程即可. QED

下面記表示二階循環群, 而是個商群, 則我們可以證研究商群的手段可以採用近世代數裡面的「同態基本定理」. 那我們就藉此機會回顧一下近視代數的相關內容吧!

有關循環群、商群、正規子群的內容就不在此回顧了, 可以翻一下書看看, 但還是有必要再複習一下群的定義:

定義2 [群]若G關於運算滿足結合律, 且且G中至少有一個左單位元, 且G中每個元素都有一個左逆元, 則稱G是一個群.
命題2 關於矩陣乘法運算構成群.

證明：根據矩陣乘法的性質, 容易驗證時

下面驗證關於矩陣乘法運算封閉: 記

則且

滿足

所以

而有左單位元對於矩陣由於則X必定有逆矩陣, 它就是X的左逆元. 綜上, 是個群. QED

命題3 關於函數的複合運算構成群.

證明：首先它是個半群容易驗證(簡單運算即可)而我們在前面一節已經驗證了恆等映射就是單位元. 另外也已經驗證了所以對於

而

所以有左逆元 QED

最後, 我們再作如下觀察(這些觀察還是花了我不少時間想出來的)

定理4 當時,

證明：留給高中生做課後習題吧. QED

定理5 記則

證明：事實上, 有如下觀察: 對於任意的且

注意這裡容易驗證. 因此 QED

下面我們就可以用同態基本定理來證明我們所要的命題了. 回顧一下相關定義.

定義3 [同態與同構]設G,H是兩個群, 是個映射, 如果則說是G到H的一個同態(homomorphism),

記這個映射的值域為的同態像(image),
記叫的同態核(kernel), 若是個一一映射, 則稱G與H通過同構映射 同構(isomorphism), 記為

終於，我們在這裡引入同態基本定理：

定理6 [同態基本定理] 設是個同態, 則

證明：不是我們這裡的重點, 略. QED

定理7

證明：根據前面的定理, 所以只需證構建映射

下面驗證是個同態: 對於

根據前面某個定理的計算, 我們有

另外我們有

所以是同態.

最後我們只需驗證

G的單位元即從而考慮到則所以所以

根據同態基本定理, QED

注1：σ不是單射，根據Ker(σ)有兩個值立得，所以σ不可能是單射. 事實上ψ_(b/ā)與ψ_((-b)/(-ā))都映為同一個像.（一開始我以為σ是單射，感謝 @風雨闌珊的提醒，這也暴露了我數理基礎薄弱..）

注2： 根據我們在前面證過的定理, 可以立即推出上半平面的情況:

其中

YES!!!!!!!!!!