邏輯回歸的原理
邏輯回歸（Logistic Regression）是一種非常流行的演算法，它簡單且有較強的可解釋性，今天就讓我們一起來學習邏輯回歸的原理。
首先需要搞懂邏輯回歸與線性回歸（Linear Regression）的區別，雖然二者都帶有「回歸」二字，但是用來解決不同的問題。線性回歸解決「回歸」問題，用一條直線來擬合所有的點，例如探究某超市的銷售額與小區常住人口數的關係；而邏輯回歸則解決「分類」問題，例如可預測一封郵件是否為垃圾郵件，預測客戶是否會發生債務違約等。
邏輯回歸演算法分三步進行，首先，我們需要確定一個預測函數，即預測出一個值來判斷歸屬哪一類，可定義預測值大於某個閾值判斷為一類，反之為另一類；第二步，為了計算參數，我們需要定義一個損失函數，損失函數用來衡量真實值和預測值之間的差異，這個差值越小說明預測效果越好；第三步，用梯度下降法計算參數，使損失函數不斷減小，得出參數後，帶入預測函數就可以來進行預測了。下面，我們將對每一步做詳細解釋。
一、尋找預測函數h(x)1. 預測函數的形式線性回歸的預測函數是一條直線，那麼邏輯回歸的預測函數能否也用一條直線呢？我們假設要預測一個客戶是否會發生債務違約，客戶的很多特徵與因變數相關，以收入為例，通常來講客戶的收入水平越高，其發生債務違約的可能性越低。假如預測函數是線性的，找一條直線擬合所有點如圖中的紅線所示，通過設定一個閾值（假設0.5），可以較好地將兩類客戶分開，若客戶的收入水平大於m，預測函數預測出的結果大於0.5，則判定客戶不會違約；若客戶的收入水平小於m，預測值小於0.5，則判定會違約，這樣的分類效果令人滿意。
線性的預測函數的缺點是對「異常值」敏感，例如樣本中加入了新的客戶，其收入水平非常高，且沒有發生違約，擬合出新的直線如圖中的黃線所示，如果還想將二者完美區分的話，選取的閾值就不能是0.5了，若還是0.5，會將一部分優質客戶錯誤預測為會發生違約。基於線性預測函數對異常值敏感的特性，我們需要針對分類問題探索一種新的預測函數。
sigmoid函數g(z)似乎滿足我們的需求，當x趨近於+∞時，y無限趨近於1，而當x趨近於-∞時，y無限趨近於0，有異常值出現時，sigmoid函數能夠做出正確的判斷。由於sigmoid函數可以將x的值映射到0到1之間，它可以表示預測的概率，假如預測值是0.75，那麼客戶屬於第1類（違約）的概率為75%，不違約的概率為25%。
2. 決策邊界
為了確定預測函數，我們需要引入一個新的概念——決策邊界（Decision Boundary），以二元變數為例，決策邊界是將兩類客戶最大程度地區分開，若可以用一條直線將兩類區分，即存在線性的決策邊界，反之為非線性決策邊界，例如圖中的圓。
圖中的直線可以用x1+x2=3來表示，x1+x2>3表示的是右上部分，即正樣本，x1+x2<3表示圖中的左下部分，即負樣本，利用x1、x2兩個變數的值即可判斷正負樣本，將結果映射到[0, 1]之間即可預測概率，這個映射的過程可以用上述sigmoid函數的形式。
線性邊界的邊界形式為：
將其映射到[0, 1]，即可得出預測函數的形式為：
二、構造損失函數J(θ)
現在我們需要求解參數θ，邏輯回歸中運用的是梯度下降法，首先定義一個損失函數J(θ)，不斷更新θ使得損失函數不斷減小，當損失函數下降的值小於閾值時，就停止更新，即可得出參數。
損失函數表示的是真實值和預測值之間的差異，可以表示為：
其中m表示樣本的數量。
構造理想的損失函數，當y=1時，預測函數越接近1，損失函數值越小，反之越大；當y=0時，預測函數越接近1，損失函數值越大，反之越小。那麼Cost函數可以表示為:
將Cost函數簡化：
帶入J(θ)中，即可得到損失函數：
三、梯度下降法求解參數θ
有了損失函數J(θ)，我們就可以求解參數θ了，要令損失函數最小化，我們定義更新函數為（α為步長）：
求偏導的部分簡化步驟如下：
那麼更新過程可表示為：
將每一次更新迭代得出的θ帶入J(θ)，即可得出損失函數的值，求出損失函數值，與上一次迭代的損失函數值相減，結果小於閾值就停止迭代，這樣損失函數不斷下降，就求解出了θ。
θ的求解過程是迭代的過程，從初始值開始迭代，使得損失函數下降，預測的準確度提升，直到預測沒有提升就停止迭代，得出參數結果。
參數的實際含義是什麼呢？用債務違約的例子來說，θ表示當客戶的收入每減少1元，其債務違約的概率提升θ%。
經過上述三步，整個邏輯回歸的演算法過程就結束了，我們首先定義了預測函數h(x)，構造了損失函數J(θ)，利用梯度下降法更新θ，使得損失函數的值不斷下降，當停止優化時，即可求解出θ，將參數θ帶入預測函數中，我們就可以開始進行預測了~
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