呆哥数学每日一题 ——二次生成函数 如果想要获取往期每日一题电子版,可以加我微信:daigemath166,备注:知乎 每日一题 呆哥解析:这是一个二次生成函数的原创题目首先这种题目,看到几个最值套在一起,先不要紧张,我们逐步把它求出来: 先求下原来函数的最小值,首先肯定是求下导: 接下来怎么办呢?我们先通分一下: 看到分子的形式,我们可以联想到一个东西:十字相乘怎么个相乘法呢?我们注意到: 那么: 这里我们采取了一个:猜根法,来帮助我们因式分解这个方法是:找出一个很有可能的根,代进去验证。如果成立,那么一个十字相乘的因式就可以确定了接下来,根据常数项和二次项的系数,我们可以猜到另一个因式是: 再来验证一下: 发现是成立的!那么我们已经因式分解完毕了: 那么我们可以确定极小值点,来求极小值了: 这里因为只有一个极小值点,那么这个极小值点就是最小值点了。我们把它代入原函数,就得到了最小值: 可见,最小值是一个新的函数,为了求它的最大值,我们把它构造出来,并求导来求它的最大值: 这里我们判断下导函数的单调性,由于注意到: 那么我们就可以直接确定这个是最大值点了,所以直接设出来: 因此新函数的最大值就可以表示了: 这里极值点解不出来,那么该怎么处理呢?我们回想一下,在遇到极值点解不出来的情况下,是否有一个很巧妙的方法:隐零点代换?我们用一个很典型的例题来回顾一下隐零点代换: 也就是说:隐零点代换的实质是,把解不出来的导函数整体代入到极值的函数中,得到的新函数和极值的函数在极值点取得等号那么我们就可以用隐零点来解原来的题了: 这里用一个均值不等式: 就确定了我们的下界了,那么上界怎么确定呢? 隐零点的实质是极值点同时取等那我们只需要找出极值点的范围,再判断新函数的单调性 不就可以判断原函数的极值的范围了吗?所以这里来最后一步,注意到: 又因为: 那么我们由零点存在定理得到: 那么我们就得到了一个很重要的结论: 因此就有: 所以答案就出来了: 明日预告: 推荐阅读: 相关文章 {{#data}} {{title}} {{/data}}