來自美國的奧數題，體現了滿滿的數學思維（19年5月22日）
家長是孩子最好的老師，
這是奧數君第857天給出奧數題講解。
今天的題目是平面分割問題，
題目來自美國的一次數學競賽，
解題所用知識不超過小學4年級。
題目（5星難度）：
在平面上任意畫12個矩形，最多把平面分為多少部分？
講解思路：
這道題屬於平面分割問題，
如果直接考慮12個矩形，
將陷入思維的泥潭很難求解。
我們採用遞推的思維，
與昨天的題目思維方式類似，
假設現有n個矩形，
最多把平面分為a(n)部分，
考慮增加1個矩形之後，
最多能增加多少部分。
註：遞推思維應用非常廣泛，
數學歸納法就是基於這種思維，
在計算機編程中也經常用到。
步驟1：
先思考第一個問題，
從1個矩形增加為2個矩形，
最多能增加多少部分？
這個問題比較簡單，
顯然2個矩形的交點最多時，
增加的部分也最多。
2個矩形最多有8個交點，
1個矩形時把平面分為2部分，
2個矩形時最多分為10部分，
因此最多增加8部分。
如下圖所示的8個角。
步驟2：
再思考第二個問題，
從n個矩形增加為n+1個矩形，
最多能增加多少部分？
類似於步驟1的過程可得，
從2個增加為3個的過程，
最多增加16部分；
從3個增加為4個的過程，
最多增加24部分；
……
可以讓選擇合適的前n個矩形，
並選擇合適的第n+1個矩形，
使第n+1個矩形與前n個都有8個交點，
則此時最多增加8n部分。
步驟3：
再思考第三個問題，
考慮原題目的答案。
綜合步驟1和步驟2的結論，
將12個矩形逐步放入，
每一次都增加盡量多的部分，
最後分成的部分最多是
2+(8+16+…+80+88)
=2+8*(1+2+…+11)
=2+4*11*12
=530。
所以最多分為530部分。
思考題（3星難度）：
小明在平面上任意畫了12個三角形，小紅在平面上任意畫了12個矩形，2人都想著盡量把平面分成更多的部分。誰把平面分成的部分多？
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