【解題技巧】壓軸導數大題的一種巧妙解題通法！

一、題型描述

不等式恆成立問題：導數大題中，條件已知函數與某個常數之間恆定的大小關係，求函數中包含的參數取值範圍的題型。

二、技巧講解

先放道例題：

【例題1】（2007·全國Ⅰ理）設函數，
（Ⅰ）證明：的導數；

（Ⅱ）若對所有都有，求的取值範圍.

本題目參考答案如下：

以上參考答案中，先不說那個根對廣大導數渣渣的挑釁，就連以及的討論標準就夠你們忙乎的！

今天要講的內容，就是要「克」這種難以通過參變分離解決的不等式恆成立問題！對，克它！

1、端點效應思想：當無法應用「參變分離法」時，「分析函數法」勢在必行。但，我們可以先通過——「既然恆成立，代入端點值也成立」的思路列出不等式，縮小參數的求解範圍，以便更快解題。

求解步驟：

Step1. 端點效應縮小範圍

既然恆成立，代入端點值也成立。從而列出「端點處」的不等式，縮小參數範圍。

註：列完「端點效應式」後，要在後面補充一句：「否則，存在x∈?（定義域）使得f(x)…，與題意矛盾。」

↓↓↓ 下方為本圖的文字講解 ↓↓↓

上圖講解：
若（含參數）在（為常數）恆成立，則在區間端點處也成立。即， ——應用於，區間端點函數值包含參數的情形。若（含參數）在（為常數）恆成立，且，則有，或 ——應用於，區間端點函數值，即不含參數的情形。若（含參數）在（為常數）恆成立，且或，則有，或【】——應用於，區間端點函數值且導數值，即函數導數值均不含參數。中括弧內易錯，請大家結合凹凸性考慮區間右端點其他情況。。。。更高維度，不會考的。

通過第 1 步可以縮小參數的範圍，往往很多考題中，我們得到的範圍就是最終的結果。但是，如果只做到以上那麼多，就算結果對了，也得不了幾分。這屬於蒙中的。接下來，繼續正常求導，只是，需要讓剛剛得到的參數範圍幫幫忙。

Step2. 放縮判斷導函數正負

縮小了參數的範圍，但依然要求函數的最值。只是求導的時候，可以結合已求參數範圍，從而判斷導函數的符號，幫助快速確定函數的單調性。

Step3. 求最值，列參數不等式

當確定函數單調性後，可以求出函數的最值（含參數）。列出最值不等式，並求解出參數範圍即可。

接下來，就先解決剛剛那道10多年前的高考題！

【例題1】（2007·全國Ⅰ理）設函數，
（Ⅰ）證明：的導數；（Ⅱ）若對所有都有，求的取值範圍.

題爸爸解析：

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）對於恆成立對於恆成立

設

因為，所以（否則，存在使得，與題意矛盾）

所以有

【以上為必要性縮小 a 的範圍】

所以單調遞增

所以

【以上為充分性求出結果，最後因為 0≥0 並未再解出新的關於 a 的不等式，所以 a≤2 就是本題結果】

綜上所述，

再放一題：

【例題2】（2010·新課標理）設函數．
（Ⅰ）若，求的單調區間；

（Ⅱ）若當時，求的取值範圍．

題爸爸解析：

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）由題對於恆成立

所以（否則，存在使得，與題意矛盾）

所以有

【以上為必要性縮小 a 的範圍】

此時當，

結合（Ⅰ）知，（此處可用第1問的結論得出，當然現求單調性也不麻煩。）

所以單調遞增，

【以上為充分性求出結果，最後因為 0≥0 並未再解出新的關於 a 的不等式，所以 a≤1/2 就是本題結果】

綜上所述，

最後附上本題的常規解法：

端點效應，你學會了嗎？