1道真題講透三角函數圖像性質（五點作圖考點歸納）| 真題精講-18
高考數學中：求一個三角函數的對稱軸、對稱中心、周期、極值點以及單調區間的問題，本質都是考察「五點作圖」的基本原則——整體代換。
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在 之前的講解中 ，我通過一些真題仔細講解了*三角函數化簡的基本原則*，其中最重要的一類問題就是：將題目給出的含有許多項的複雜函數化簡為標準式Asin(ωx+φ)——今天我們會通過另外一道題目，來講解一下在這個標準型的的基礎上進行進一步的操作。
01、回顧：三角函數化簡的基本原則
我們先來回顧一下*三角函數化簡的基本原則*，這個過程有4步：
第一步：化齊與x項相關的次數；
第二步：化齊x的係數；
第三步：整理式子為asinωx+bcosωx這種形式：
第四步：通過和角公式化簡為Asin(ωx+φ)這種形式。
但有些時候，含x項的次數和係數無法同時化齊，這種情況需要用到另一種方法（詳見上一道題目，點擊複習）：
首先，優先考慮化齊x項的係數即確保ω相等。
其次，通過整體代換，講原式變為一元二次方程。這時題目從求三角函數最值的問題就被轉化為在固定區間上求一元二次函數最值的問題。
上述兩種方法都是求三角函數最值的方法，尤其第一種方法，還牽涉到高中數學三角函數的三個考點之一，將三角函數的一般式化為Asin(ωx+φ)。
這次我們來看三角函數的第二個考點：五點作圖。
02、三角函數圖像性質的考法總結
五點作圖，簡單來說是已知三角函數的標準式，作出函數的圖像，由圖像可知該三角函數的對稱軸，對稱中心，周期，極值點以及單調區間。
——換句話來說，當一道題目的問題是求一個三角函數的對稱軸，對稱中心，周期，極值點以及單調區間，其本質都是考察你對三角函數圖像性質的理解；換言之：你要理解「五點作圖」的基本原則。
因為只要做出圖像，上述所有問題都可根據圖像直接得出。
所以，問題的關鍵在於，如何進行五點作圖，我們再次來看2017年浙江卷的第18題，我為你整理了這道題的Cornell筆記：
多說一句題外話，我為什麼推薦你用Cornell筆記紙整理題目？你一定要讀這篇文章：
高考數學指導：錯題集的整理原則
首先我們應知，三角函數的周期是T=2π/ω，我們在《萬劍歸宗十套卷》專欄第15題里已經講過：函數已被化為f(x)=-2sin(2x+π/6)的形式，所以可直接得出T=π。
下一步我們考慮五點作圖的基本做法。
03、五點作圖：三角函數圖像的繪製方法
事實上五點作圖的基本思路是整體代換：比如，sinx的圖像已知，在sinx的圖像上來尋找五個特殊點。
1、當x=0時，sinx=0
2、當x=π/2時，sinx=1
3、當x=π時，sinx=0
4、當x=3π/2時，sinx=-1
5、當x=2π時，sinx=0
這五個點覆蓋的範圍剛好為一個周期，首尾相連，通過這三個零點以及兩個極值點共五點，就可以得出函數的大致走向，畫出圖像。
那對於這道題目，應該如何入手？在前面已經說過，五點作圖的基本思路為等量代換。在筆記中我使用藍色的筆標出了2x+π/6，這個部分等同於「x」，我們將其看作一個整體，可以得出這樣的結論：
1、當2x+π/6=0時，sin(2x+π/6)=0
2、當2x+π/6=π/2時，sin(2x+π/6)=1
3、當2x+π/6=π時，sin(2x+π/6)=0
4、當2x+π/6=3π/2時，sin(2x+π/6)=-1
5、當2x+π/6=2π時，sin(2x+π/6)=0。
根據上式，可以解出在函數取得極值點和零點時，相對應x的值，這五個點分別對應：
1、x=-π/12；2、x=π/6；3、x=5π/12；4、2π/3；5、x=11π/12。
得出x值後，考慮A=-2，在平面直角坐標系中根據點的位置畫出圖像，得出最終答案。
04、復 盤：這道題我們學到了什麼
我們重新梳理思路後發現，五點作圖的關鍵在於：
第一，需要使用整體代換的思想。
第二，需要根據ωx+φ的值反解出x的值。
畫出圖像後回歸題目，需要求出函數點單調增區間。仔細觀察圖像，很容易得出在[0,2π]上，函數的單調增區間為(π/6,2π/3)。
但注意：三角函數為周期函數，每一個周期都會有一段單調增區間，所以在書寫區間時，要加上間隔的周期，所以正確的答案為(π/6+kπ,2π/3+kπ)(k∈z)，表示每隔一個周期都會出現這樣一個單調增區間。
至此為止，這道題解答過程就結束了。這道題目是關於五點作圖求單調區間的問題，但事實上五點作圖不僅可以解答這類問題，實際上、關於三角函數的對稱軸，對稱中心，極值點，周期，單調區間的問題，都可以通過五點作圖求出，方法完全類似。
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00 / 16天提升53分，我總結了6個關鍵學習方法（8000字乾貨）
01 / 真題精講 - 01 | 分析「函數」的基本原則
02 / 真題精講 - 02 | 通過「定義域」構建解題思路
03 / 真題精講 - 03 | 通過「單調性分析」構建解題思路
04 / 真題精講 - 04 | 函數「對稱性」的條件識別原則
05 / 真題精講 - 05 | 使用正弦定理進行「邊角互化」的基本原則
06 / 真題精講 - 06 | 從源頭追溯「餘弦定理」& 文理科知識點的異同
07 / 真題精講 - 07 | 三角函數求最值的常規原則
08 / 真題精講 - 08 | 三角函數求最值的轉化思路
09 / 真題精講 - 09 | 題目條件可以「用了再用」
10 / 真題精講 - 10 | 影響平面向量和差模長的因素分析
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