d2到底是什麼?
d2y/dx2中的d2是什麼,它和dx2有什麼區別,為什麼不用dy2?
為啥要寫成類似於乘方的形式呢?因為映射的複合
如果運算符
的兩邊都是線性映射並且支持加法和數乘,那麼 是個雙線性運算符
也就是說對於任意標量
(這公式瞧著是不是跟小學乘法長得一模一樣?)
這個微分運算元
上面解釋的是
首先
比如斜率 k 的線性函數
線性函數簡單好算,而且可以自然地定義線性函數之間的加法和數乘,也就是說所有線性函數構成了一個線性空間,這個線性空間記作
一般的函數
這時微分運算元
於是呢就整出個新函數叫做
所以這個新函數
這裡自變數是實數
所謂差不離就是說對於挨著 x 足夠近的數 x+h,用函數
記號
記號
寫到這裡,我要劃個重點啦:
函數
從線性擬合的角度看,
但是如果我們需要考察函數 f 在 x 處更細微的性狀呢?比如已知 x 是極值點,即
我們之前從差分函數入手,得到了一階擬合形式;那麼為得到平方項這樣的二階擬合形式,自然的想法是可以從二階差分函數入手,也就是去琢磨差分函數的差分
問題來了:這個差分的差分該寫?
我們看到
變成另一個
其中因變數
那麼只需把函數 f 替換成函數
其中因變數
注意到右側的
把右邊在
順便說句,從這個組合形式很容易看出二階差分是個對稱二元函數,亦即:
二階差分也可以理解為函數 f 在下圖矩形頂點上的有向和:
我們現在得到了二階差分的形式,那麼它的意義是什麼?
注意到依照線性函數的定義,對線性形式
這樣,如果我們把二階差分組合表達式中的
換言之,如果非線性余項
讓我們把余項顯式地寫出來,記作
代入二階差分組合表達式,得到完全由余項構成的二階差分形式:
可以想到,如果余項具有平方項的形式,比如說
一般的余項自然不會剛好是個平方項,二階差分自然也不會剛好就是個二重線性函數;但就像我們之前可以試著拿線性函數去擬合一階差分,假如我們運氣好,這個余項雖不是平方項但也差不離了,那我們也可以拿某個二重線性函數去擬合這個二階差分,換言之:
這裡記號
記號
所有二重線性函數自然地也構成了一個線性空間,這個線性空間記作
相應地,我們就迎來了一個新映射:
這裡自變數是實數
繼續劃重點啦:
函數
我們現在來算個微分的具體實例,並藉此說明記號
考慮最簡單的
那麼
也就是說
套用前面對微分的定義,注意到
我們習慣於用
(這個習慣其實不太好,因為
對於恆等映射,因為因變數 y 就等於自變數 x ,在這種標記習慣下我們就有了:
(同樣需要注意記號
由此,當我們說函數
(一些教材因此也經常把記號
現在我們已經說清了記號
那麼
它應該被理解為
有人大概要問了:你幹嘛這麼多此一舉的寫個 C(x) 來又讓它等於1,直接寫
(留個尾巴,下回再寫,叉會兒腰~~
謝邀。
第一個小問,
這個空間的元素是域
微積分中類似的殘疾概念很多,比如極值與最值,微分與導數,定積分與不定積分,、
第一類換元積分法與第二類換元積分法。
實際上不應該分開的。為什麼分開了?
因為第一代,第二代中國數學教育家們制定微積分知識點大綱的時候,
為了方便初學者學習而拆開的。
第二個小問,需要知道微分的概念。
微分/切映射:
因為
詳細一點:
即
因為
直觀地說,
數學上,微分描述的是空間上的線性變化過程,
0階微分描述1維空間上的線性變化過程,就是函數本身,
1階微分描述2維空間上的線性變化過程,1維空間上曲線的單調性,
2階微分描述3維空間上的線性變化過程,2維空間上曲線的凹凸性,
階數
n階微分描述n+1維空間上的線性變化過程。
物理上,時間作為1個特殊維的空間,
用1階微分運算元
用2階微分運算元
同理,高階無限小量在高維空間上的任意一組對偶的對象上是線性的,
可以用高階微分代替。
如果你要問,為什麼要這麼寫?
有些人會說習慣啊,規定啊,約定啊這種直覺理由,
但作為一個初學者,這種直覺的說法並不能解釋這種寫法的動機,理解起來很難受。
實際上,它可能是用分母上的形式表象二階微分的完整性,
用分子上的形式表象二階微分的分割性。
所以分母上不用
d2y是二階微分 dx2是兩個一階微分的積
不邀自來(??????) ?
大一的時候咱也和題主一樣傻傻分不清,後來發現其實挺容易區分的(?&> &)
簡單來說:
d2x指x的二階微分,即d(dx)
d(x2)是x2的微分,即2xdx
(dx)2是x微分的平方,也記為dx2
記住以上就很簡單啦(′▽`)ノ?
至於d2y/dx2,題主就不要管那麼多啦,直接看成對y=f(x)的二階微分就成~
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