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金融學筆記：久期與凸性，衡量債券價格風險的常用指標

關於久期，一篇科普性質的文章可見：

當我們談論久期時，我們在談論什麼?

zhuanlan.zhihu.com

本文將稍顯晦澀。

關於債券價格，首先明確，債券的價格是其產生的未來現金流按到期收益率貼現的現值。

我們認為市場中有利率期限結構（Term Structure of Interest Rates），它實際上是即期利率（Spot Rate）曲線，精確地說，是各種期限的無風險零息債券到期收益率所構成的曲線。

用 表示現金額， 表示利率期限結構中的到期收益率，則：

久期

在討論久期和凸性時，我們始終關心的是利率變動和價格之間的關係。如果到期收益率有一個微小的變化，債券價格的變化應該是債券價格的全導數：

旨在建立實用的久期概念，我們不做嚴格的數學推導，而因此做一系列近似。

我們假設到期收益率曲線在變化時平行移動，並且提出一個近似的共同因子，便有：

有時我們用 表示一筆現金的現值，用 表示折現因子，上式也可以寫成：

出於我們的目的，自然是要考察 ，這刻畫了市場利率變化時債券價格的變化程度。於是定義：

這就是修正久期（Modified Duration）。

稍複雜地，在每年付息 次的情形下（注意 始終指期數而非年數），有：

，進而

此時有

修正久期是最精確、最常用的久期，但歷史上還有比率久期（又名麥考利久期）和金額久期（又名美元久期）兩種久期，

根據姚長輝教授《固定收益證券：定價與利率風險管理》一書，

比率久期，即麥考利久期為

相應的，金額久期為

此處，僅出於筆者的意見，或許有更合適的定義為

凸性

事實上，上述過程我們僅考慮了利率變動與價格變動的線性關係，由於現實中總有 ，我們需要考察

這是由債券價格的泰勒展開

而來。

很明顯，已有 ，類似地我們定義

這就是修正凸性（Modified Convexity），具體有

故而得到

同樣地，存在一年付息 次的情況，此時有

根據姚長輝教授《固定收益證券：定價與利率風險管理》一書，

比率凸性為

相應的，金額凸性為

此處，僅出於筆者的意見，或許有更合適的定義為

久期與凸性的性質

當得到修正久期和修正凸性後，實際我們就已經有

注意，久期和凸性始終是刻畫風險的指標，我們並不期望用他們去估計價格。

在投資組合里，久期與凸性具有可以線性相加的優良性質，這是說：

其中權數 是單個債券的投資比重。

久期越大的債券，價格對利率越敏感，利率下降帶來的價格提升與利率提升帶來的價格下降都會更大；凸性大的債券利率下降帶來的價格會更大，而利率提升帶來的價格會更小。

有效久期與有效凸性

由於有時候證券的情況更加複雜，例如有不確定的現金流、含權等等，我們提出有效久期與有效凸性的概念，直截了當地刻畫價格受利率影響的程度：

注意此時有

久期和凸性的封閉式公式

Jess H. Chua ，於 1984 年，在發表在《Financial Analysts Journal》上的 A Closed-Form Formula for Calculating Bond Duration 一文中，給出了計算久期的封閉式公式：

其中是 是每期利息（coupon payment）， 是票麵價值（face value）。此處要求到期收益率曲線水平，並有每期利息不變。

證明：

這是說有

進而

注意到

於是有

代回即得

到期收益率曲線水平，且每期利息不變時，凸性也有對應的封閉式公式，只需把 的表達式寫為封閉形式，然後兩次求導即可。

2019.6


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