金融學筆記：久期與凸性，衡量債券價格風險的常用指標

關於久期，一篇科普性質的文章可見：

當我們談論久期時，我們在談論什麼?

zhuanlan.zhihu.com

本文將稍顯晦澀。

關於債券價格，首先明確，債券的價格是其產生的未來現金流按到期收益率貼現的現值。

我們認為市場中有利率期限結構（Term Structure of Interest Rates），它實際上是即期利率（Spot Rate）曲線，精確地說，是各種期限的無風險零息債券到期收益率所構成的曲線。

用表示現金額，表示利率期限結構中的到期收益率，則：

到期收益率曲線非水平時：

$P=sum_{t=1}^{n} frac{C_{t}}{left(1+y_{t} ight)^{t}}$

特殊地，到期收益率曲線水平時：

$P=sum_{t=1}^{n} frac{C_{t}}{(1+y)^{t}}$

久期

在討論久期和凸性時，我們始終關心的是利率變動和價格之間的關係。如果到期收益率有一個微小的變化，債券價格的變化應該是債券價格的全導數：

$operatorname d P=sum_{t=1}^{n} frac{-t cdot C_{t}}{left(1+y_{t} ight)^{t+1}}; operatorname d y_{t}$

旨在建立實用的久期概念，我們不做嚴格的數學推導，而因此做一系列近似。

我們假設到期收益率曲線在變化時平行移動，並且提出一個近似的共同因子，便有：

$egin{aligned} operatorname d P&=sum_{t=1}^{n} frac{-t cdot C_{t}}{left(1+y_{t} ight)^{t+1}}; operatorname d y_{t}\&approx-frac{1}{1+y} sum_{t=1}^{n} frac{t cdot C_{t}}{left(1+y_{t} ight)^{t}} ; operatorname d y end{aligned}$

有時我們用表示一筆現金的現值，用表示折現因子，上式也可以寫成：

$egin{aligned} operatorname d P&=-frac{1}{1+y} sum_{t=1}^{n} t cdot V(C_t) ; operatorname d y\ &=-frac{1}{1+y} sum_{t=1}^{n} t cdot d_tC_t ; operatorname d y end{aligned}$

出於我們的目的，自然是要考察，這刻畫了市場利率變化時債券價格的變化程度。於是定義：

$egin{aligned} D_{ m Mod}:=-{operatorname dP/Pover operatorname dy}&={1over P}frac{1}{1+y} sum_{t=1}^{n} frac{t cdot C_{t}}{left(1+y_{t} ight)^{t}} \ &={1over P}frac{1}{1+y} sum_{t=1}^{n} t cdot V(C_t) end{aligned}$

這就是修正久期（Modified Duration）。

稍複雜地，在每年付息次的情形下（注意始終指期數而非年數），有：

$P=sum_{t=1}^{n} frac{C_{t}}{left(1+y_{t}/k ight)^{t}}$ ，進而

$egin{aligned} operatorname d P&=sum_{t=1}^{n} frac{-t cdot C_{t}}{kleft(1+y_{t}/k ight)^{t+1}}; operatorname d y_{t}\&approx-frac{1}{k+y} sum_{t=1}^{n} frac{t cdot C_{t}}{left(1+y_{t}/k ight)^{t}} ; operatorname d y end{aligned}$

此時有

$egin{aligned} D_{ m Mod}&={1over P}frac{1}{k+y} sum_{t=1}^{n} frac{t cdot C_{t}}{left(1+y_{t}/k ight)^{t}} \ &={1over P}frac{1}{k+y} sum_{t=1}^{n} t cdot V(C_t) end{aligned}$

修正久期是最精確、最常用的久期，但歷史上還有比率久期（又名麥考利久期）和金額久期（又名美元久期）兩種久期，

根據姚長輝教授《固定收益證券：定價與利率風險管理》一書，

比率久期，即麥考利久期為

$D_{ m Mac}:=-{operatorname dP/Pover operatorname dy/(1+y / k)}={1over P}frac{1}{k} sum_{t=1}^{n} t cdot V(C_t)$

相應的，金額久期為

$D_{$}=D_{ m Mac}cdot P$

此處，僅出於筆者的意見，或許有更合適的定義為

$D_{$}:=-{operatorname dPover operatorname dy}=D_{ m Mod}cdot P$

凸性

事實上，上述過程我們僅考慮了利率變動與價格變動的線性關係，由於現實中總有，我們需要考察

$Delta P=frac{partial P}{partial y}(Delta y)+frac{1}{2 !} frac{partial^{2} P}{partial y^{2}}(Delta y)^{2}+frac{1}{3 !} frac{partial^{3} P}{partial y^{3}}(Delta y)^{3}+ldots$

這是由債券價格的泰勒展開

$P(y+Delta y)=P(y)+P(y)Delta y+ frac{P(y)}{2} (Delta y)^{2}+o(y^2)$

而來。

很明顯，已有 $-{1over P}frac{partial P}{partial y}=D_{ m Mod}$ ，類似地我們定義

$Gamma_{ m Mod}:={1over P}frac{partial^{2} P}{partial y^{2}}$

這就是修正凸性（Modified Convexity），具體有

$egin{aligned} frac{partial^{2} P}{partial y^{2}}&=sum_{t=1}^{n} frac{t(t+1) C_{t}}{left(1+y_{t} ight)^{t+2}} \ &approx frac{1}{(1+y)^{2}} sum_{t=1}^{n} frac{t(t+1) C_{t}}{left(1+y_{t} ight)^{t}} end{aligned}$

故而得到

$egin{aligned} Gamma_{ m Mod}:={1over P}frac{partial^{2} P}{partial y^{2}} &={1over P} frac{1}{(1+y)^{2}} sum_{t=1}^{n} frac{t(t+1) C_{t}}{left(1+y_{t} ight)^{t}}\ &={1over P} frac{1}{(1+y)^{2}} sum_{t=1}^{n} tcdot (t+1)cdot V(C_t) end{aligned}$

同樣地，存在一年付息次的情況，此時有

$egin{aligned} Gamma_{ m Mod}&={1over P} frac{1}{(k+y)^{2}} sum_{t=1}^{n} frac{t(t+1) C_{t}}{left(1+y_{t}/k ight)^{t}}\ &={1over P} frac{1}{(k+y)^{2}} sum_{t=1}^{n} tcdot (t+1)cdot V(C_t) end{aligned}$

根據姚長輝教授《固定收益證券：定價與利率風險管理》一書，

比率凸性為

$Gamma_{ m Ratio}:={left(1+y_{t}/k ight)^2over P}frac{partial^{2} P}{partial y^{2}}={1over P}frac{1}{k^2} sum_{t=1}^{n} t cdot (t+1) cdot V(C_t)$

相應的，金額凸性為

$Gamma_{$}=Gamma_{ m Ratio}cdot P$

此處，僅出於筆者的意見，或許有更合適的定義為

$Gamma_{$}:=frac{partial^{2} P}{partial y^{2}}=Gamma_{ m Mod}cdot P$

久期與凸性的性質

當得到修正久期和修正凸性後，實際我們就已經有

${Delta P over P}=-D_{ m Mod}cdot Delta y+{1over 2}Gamma_{ m Mod}cdot (Delta y)^2$

注意，久期和凸性始終是刻畫風險的指標，我們並不期望用他們去估計價格。

在投資組合里，久期與凸性具有可以線性相加的優良性質，這是說：

$D_{ m Portfolio}=sum omega_icdot D_{ m Mod}$

$Gamma_{ m Portfolio}=sum omega_icdot Gamma_{ m Mod}$

其中權數是單個債券的投資比重。

久期越大的債券，價格對利率越敏感，利率下降帶來的價格提升與利率提升帶來的價格下降都會更大；凸性大的債券利率下降帶來的價格會更大，而利率提升帶來的價格會更小。

有效久期與有效凸性

由於有時候證券的情況更加複雜，例如有不確定的現金流、含權等等，我們提出有效久期與有效凸性的概念，直截了當地刻畫價格受利率影響的程度：

$D_{ m effective}={1over P}frac{P_{-}-P_{+}}{y_{+}-y_{-}}=frac{P_{-}-P_{+}}{2cdot Delta ycdot P}$

$Gamma_{ m effective}={1over P}frac{D_--D_+}{Delta y}={1over P}frac{{frac{P_{-}-P}{2cdot Delta ycdot P}}-{frac{P-P_{+}}{2cdot Delta ycdot P}}}{Delta y}=frac{P_{-}+P_{+}-2P}{2cdot (Delta y)^2cdot P}$

注意此時有

${Delta P over P}=-D_{ m effective}cdot Delta y+Gamma_{ m effective}cdot (Delta y)^2$

久期和凸性的封閉式公式

Jess H. Chua ，於 1984 年，在發表在《Financial Analysts Journal》上的 A Closed-Form Formula for Calculating Bond Duration 一文中，給出了計算久期的封閉式公式：

$D_{Mac}={1over P}left[{Ccdotfrac{(1+y)^{n+1}-(1+y)-yn}{r^2(1+y)^n}+Fcdot{nover(1+y)^n}} ight]$

其中是是每期利息（coupon payment），是票麵價值（face value）。此處要求到期收益率曲線水平，並有每期利息不變。

證明：

$egin{aligned} D_{ m Mod}&={1over P}frac{1}{1+y} sum_{t=1}^{n} frac{t cdot C}{left(1+y ight)^{t}} +{1over P}cdot Fcdot{nover(1+y)^n} \&={1over P}frac{C}{1+y}cdot S+{1over P}cdot Fcdot{nover(1+y)^n} end{aligned}$

這是說有

$egin{aligned} S&=sum_{t=1}^{n} frac{t}{(1+y)^{t}} \&=frac{1}{(1+y)}+frac{2}{(1+y)^{2}}+frac{3}{(1+y)^{3}}+cdots \&qquad +frac{n-1}{(1+y)^{n-1}}+frac{n}{(1+y)^{n}} end{aligned}$

進而

$egin{aligned} frac{S}{(1+y)} &=frac{1}{(1+y)^{2}}+frac{2}{(1+y)^{3}}+frac{3}{(1+y)^{4}}+cdots \ &qquad +frac{n-1}{(1+y)^{n}} +frac{n}{(1+y)^{n+1}} end{aligned}$