介紹完誤差之後，必須說的就是二分法了。

圖片來自維基

（改了一下圖，知乎上傳png格式圖片背景竟然是黑色的。）

二分法很簡單，如上圖，已知 連續且 ，則方程 在 間至少有一個實根，那麼怎麼求它？

很簡單，取中間點 ，比較中間點的函數值和兩端點的值的乘積 ，說明這個區間中肯定有解。此時精確解 與 之間的差為 ,當這個值小於誤差 要求時， 就可以做為近似解。如果要求的精度越高（誤差越小），需要取得中間值個數越多，這個工作就是計算機的長項了。

太晚了今天，程序明天上。

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更新程序

function [x_star,k]=bisect1(fun,a,b,Tol)

fa=feval(fun,a); %這句代碼就相當於fa=fun(a)
fb=feval(fun,b); %這句代碼就相當於fb=fun(b)

k=1;
while abs(b-a)/2>Tol %當(b-a)/2的絕對值>Tol
x=(a+b)/2;
fx=feval(fun,x); %這句代碼就相當於fx=fun(x)
if fx*fa<0
b=x;
fb=fx;
else
a=x;
fa=fx;
end
k=k+1;
end
x_star=(a+b)/2;

x_star就是解

k是迭代次數

fun是要輸入的函數

（bisect是函數名稱，是bisection的簡寫；///bi-詞綴，前綴，「二」的意思，section「部分」，二分法。

Tol是誤差，是tolerance的簡寫）

這時候只要你想計算 在 之間的解，允許誤差為0.005，只需要在MATLAB的command line裡面輸入以下兩行代碼即可。

fun=inline(x^3-x-1);
[x_star,k]=bisect1(fun,1,1.5,0.005)


輸入完回車就會看到如下結果：

x_star =
1.3242
k =
7


即算出的計算值 ，計算了7次，取了7次中點。

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但是以上代碼只考慮了 的情況，但是如果輸入的函數在給定的區間端點恰好是 ，也就是說在給定的區間上不滿足二分法的求解條件。作為一個完整的程序需要考慮到這種情況。因此代碼添加如下一段：

if fa*fb>0
x_star=[fa,fb];
k=0;
return;
end


這是當你輸入

fun=inline(x^3-x-1);
[x_star,k]=bisect1(fun,1.4,1.5,0.005)


因為他在 上沒有根，所以他會輸出

x_star =
0.3440 0.8750
k =
0


輸出是和 處的值，告訴你他們兩個都大於0，計算了0次。

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此外，完整的代碼還應該考慮到，如果沒有要求誤差值為多少，應該設置一個較小的誤差默認值。即添加以下代碼：

if nargin<4
Tol=1e-5;
end


這段代碼的意思是，你可以只輸入

fun=inline(x^3-x-1);
[x_star,k]=bisect1(fun,1,1.5)


他會默認你的誤差為0.00001（1e-5），幫你算出在 之間的解。如下，MATLAB顯示：

x_star =
1.3247
k =
16


這時他運行了16次，取了16次中點，算出的值為1.3247，誤差為0.001%。

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因此完整的代碼為：

function [x_star,k]=bisect1(fun,a,b,Tol)
fa=feval(fun,a); %這句代碼就相當於fa=fun(a)
fb=feval(fun,b); %這句代碼就相當於fb=fun(b)
if nargin<4
Tol=1e-5;
end
if fa*fb>0
x_star=[fa,fb];
k=0;
return;
end
k=1;
while abs(b-a)/2>Tol %當(b-a)/2的絕對值>Tol
x=(a+b)/2;
fx=feval(fun,x); %這句代碼就相當於fx=fun(x)
if fx*fa<0
b=x;
fb=fx;
else
a=x;
fa=fx;
end
k=k+1;
end
x_star=(a+b)/2;


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已上考慮到一種情況就是，時不一定在區間無根，可能會存在重根的顯現。因此這就是牛頓法的弊端，所以會有迭代法的出現。

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