由淺入深解析 Boost
* 本文節選自 21Dianyuan 社區 熱帖《boost 詳解+mathcad 計算+saber 模擬》，作者 ellie，感謝作者的辛苦付出。
Boost，升壓型變換器，顧名思義，用於將一個較低的輸入電壓升高到一個所需的輸出電壓，下面以最經典的直流升壓變換器為例進行介紹。
一、拓撲穩態分析
圖1.1為最基本的直流升壓變換器，圖中器件均為理想元器件。開關 SW1 以固定頻率重複開通關斷，這種開關行為在 L, SW1 和 D1 連接點產生一串脈衝，L 和 C 形成輸出濾波器將這種脈衝串濾波產生一個直流輸出電壓 Vout。
當開關器件工作在導通狀態時，電感器 L 儲能，其電流以斜率 Vin/L 上升；二極體 D1 陽極電位等於地電平，陰極電位等於輸出電壓值，所以 D1 反偏阻斷，電容 C1 為負載提供輸出電流；
而當開關器件工作於截止狀態，由於電感電流不能突變，電感產生反方向的感應電壓，使 D1 正嚮導通，儲存在電感器的能量為負載提供輸出電流，同時為電容 C1 充電，電感電流以斜率 (Vout-Vin)/L 下降。
1. 功率變換器的穩定狀態
穩定狀態即指每個開關周期為前一開關周期的複製，要求開關導通時電感電流的增加量 ΔION等於開關截止時的電流減少量 ΔIOFF (伏秒法則是描述穩定狀態的另一方法，但是出發點都是一致的)。
根據變換器穩定狀態下每個開關周期起始 (結束) 時電感電流的實際值判斷變換器的工作模式：
? 穩定狀態下若每個周期中電流都回到零，則為斷續導電模式 (DCM)；? 若電流回到某一非零值，則稱為連續導電模式 (CCM)；? 若恰好在周期結束時回到零，則稱為臨界連續模式 (BCM)，當變換器工作於 BCM 時，可自由選擇 DCM 或 CCM 方程。2. 直流升壓變換器 CCM 模式穩態分析
由於變換器處於穩態，根據穩態描述方法有：ΔION=ΔIOFF，故有：
由此可得到輸出電壓與輸入電壓的關係為：
由於器件均為理想器件，即變換器不消耗功率，故輸入功率等於輸出功率，因此有：Vin*IL=Vout*Iout
對於 boost 電路，輸入電流即為電感電流，故有：
升壓變換器 CCM/DCM 邊界條件 boost 在 CCM/DCM 的邊界情況，是指開關截止期間電感電流從最大值正好減小到零，電流值一旦為零下一個開關周期便開始了。此時電感電流平均值可表示為：
上式中 ΔIL 即指電感紋波電流，CCM/DCM 邊界情況的 boost 穩態工作時該值既等於 ΔION 又等於 ΔIOFF , 因此:
計算平均電感電流為：
計算對應的輸出電流邊界條件為：
由此，對於一個 Vout, L, Ts, Vin 參數確定的 boost 電路，工作於 CCM 模式的輸出負載電流應滿足：
或者對於一個 Vout, Ts, Iout, Vin 參數確定的 boost 電路，工作於 CCM 模式的電感值應滿足：
以上各式中占空比 D 均指最小占空比。
鑒於 DCM 模式中，一個開關周期存在三個工作狀態，電流波形有一段為零，計算就更為複雜一些。
因為這一點，儘管變換器工作在 DCM 比 CCM 有更多優點，工程師仍一般選擇使自己設計的開關電源工作於 CCM 模式。
因此本文將不對 DCM 模式做詳細的分析和計算，包括後面的傳遞函數、環路計算均針對 CCM 模式進行。
考慮雜散參數的 boost 拓撲 如圖 1.12 所示
此為加入雜散參數的 boost 主迴路，圖中增加了兩個主要的雜散參數：電感 L 的直流電阻 Rl、輸出電容 C1 的串聯等效電阻 Resr。
另外，雖然圖中未繪出，但下文計算時也會考慮開關 SW1 的通態壓降 Vsw(on) 和二極體正向壓降 Vd。
小結
無隔離型的經典 boost 拓撲在穩態條件下 CCM/DCM 模式的推導其實在相關的開關電源書上都會有詳細的推導，而且也比較簡單，本節的內容大部分也是借鑒了資料書籍等，只不過做了簡化。
主要參考書籍
?《Understanding Boost Power Stages in Switchmode Power Supplies》
?《開關電源理論與設計實踐》
?《精通開關電源設計》
二、boost 主迴路傳遞函數推導
為什麼要推導主迴路的傳遞函數？
簡單解釋一下，如圖 2.1 所示為開關電源閉環控制系統框圖。
電源主迴路即圖中的功率級 (Power Stage)，有輸入電壓和占空比兩個輸入，而其中占空比是控制量，通過改變占空比去調節輸出電壓。
前面的穩態條件計算必須滿足變換器的輸入電壓、負載都維持恆定，且系統無任何外界干擾。但是在實際的應用中輸入電壓和負載一般都是有一個範圍而不是恆定，而且實際上這些信號均存在一定的交流分量，也就是說工作於任一穩態工作點的變換器均會受到擾動，因此必須推導主迴路的傳遞函數來分析其對擾動的響應，從而設計恰當的反饋補償。
開關電源中的開關元件使電源成為一個強非線性系統，根本無法直接推導傳遞函數。
根據《開關變換器的建模與控制》一書中所述：
首先將變換器電路中的各變數在一個開關周期內求平均，以消除開關紋波的影響；
其次將各平均變數表達為對應的直流分量與交流小信號分量之和，消去直流分量後即可得到只含小信號分量的表達式，達到分離小信號的目的；
最後對只含小信號分量的表達式作線性化處理，從而將非線性系統在直流工作點附近近似為線性系統……
對變換器應用小信號分析方法必須滿足兩個條件：
? 交流小信號的頻率遠小於開關頻率；? 變換器的轉折頻 率遠小於開關頻率。由於做公司的 10kW Boost 項目時其實專門針對那個項目寫了一份環路技術文件，所以直接拿的那個文件里的圖，下面對 boost 傳遞函數的推導均參見圖 2.2(a)，如圖所示是包括了雜散參數的 boost 電路。
本文採用開關網路平均模型法為 boost 主迴路建立小信號等效模型，這種方法是將變換器中的所有開關 元件作為一個整體，將其視為一個二埠網路，以這個網路作為研究對象，分析埠變數間的關係建立由 受控源構成的等效電路。
boost 拓撲中取 Q1 和 D1 兩個開關元件組成的電路視為一個開關網路，如圖 2.2(b) 所示。 其埠變數之間滿足如下關係式：
選擇 i1(t) 與 v2(t) 為獨立變數，i2(t) 與 v1(t) 為非獨立變數，當滿足小信號分析的兩個條件時，非獨立變數的平均變數可用獨立變數的平均變數表達為：
根據上式可以建立二埠等效電路，用該等效電路代替原變換器中的開關網路，可以得到變換器的平均變數等效電路。
令開關網路等效電路的各平均變數等於其對應的直流分量，可以得到開關網路的 直流等效電路為一對受控源，其作用相當於一個可變換直流的理想變壓器。
將其代換回變換器，並使原變 換器中的電感短路、電容開路，電路中瞬時值用直流量表示，可以得到用一個理想變壓器表示的 BOOST 變換器的直流等效電路，如圖 2.3(a) 所示。
根據圖 2.3(a) 所示的 boost 變換器直流等效電路建立變換器穩態工作點：
根據圖 2.3(b) 所示的交流小信號等效電路，並結合求出的靜態工作點，可得到 boost 主迴路的相關傳遞函數：
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