本文是筆者閱讀Edward Witten的相關文章的隨筆。
2+1 維時空具有2維的空間維度和一維的時間維度，它可以看做是真實的時空在某一空間坐標上的切片，而且要求是，無論我們在何處取，得到的結果除去旋轉外相同。記真實的4維時空度量為黎曼度量 ，我們總可以找到一個等距變換羣，它的軌道是一條類空曲線。並且2+1維時空的Einstein-Hilbert作用量與Yang-Mills理論中的Chern-Simons作用量聯繫緊密(考慮到3維對應的Chern-Simons密度為 ，如果我們將規範勢 看做是聯絡1-形式，那麼相應的 就是曲率2-形式)。因此，2+1維引力的第一個有趣之處在於，引力與規範理論是等價的，而4維則沒有這一性質，正因如此，所有 2+1 維引力canonical 體系 [1][2] 的約束方程都將完全解耦。至於3維Chern-Simons規範理論與扭結理論的關係，可參見文獻 [3]。通過對2+1維引力加以重整化攝動，我們可以得到2+1維的量子引力。藉助它我們可以進一步理解經典量子力學中的奇點問題。
定理1.1：在真空2+1維時空中不存在引力波，並且它不可以被重整化。
對於近線性時空，我們有 ，其中 是Minkowski時空的修正項(小量)。根據線性Einstein方程，利用 ，我們有
，
這正是經典的二維波方程。考慮到場的漸進平坦性，對於全時空無源的情況，我們只有唯一解 ，模去規範變換， .
定理1意味著，給定任何合理的邊界條件，場中自由粒子的相空間是有限維的，並且有可能不可被量子化。
定義1.2：記場中所有可能的約束方程的解為 ，相空間是廣義坐標 和廣義速度 所取值的空間的集合，再模去規範變換。
事實上，記我們考慮的2+1為時空為 ，上述的相空間可以記為
如果引力方程不存在波動解，那麼相空間是有限維的。
2+1 維引力的第二個有趣之處在於， 是二維曲面，因此我們可以方便地討論它的拓撲性質。令 為一虧格為 的緊緻光滑二維曲面，它有基本羣 。
定理1.3 (Fuchsian model)：令 是具有常負曲率度量的上半複平面，有羣作用 。令 是同構於 的 的子羣，那麼 是一個虧格為 的雙曲黎曼面。
令 表示2+1維的Minkowski時空，有度量 ，這裡我們取 與光錐內部一致。記future light cone為 ，past light cone 為 ，此時Poincare羣為 ，其中 表示3維偽轉動Lorentz羣，與 同構， 表示3維平移。 模去長度，可以得到一個超曲面 ： 與 同構，因此， 也可以看做是作用在超曲面 上的Lorentz羣 的子羣，那麼 也是一個虧格為 的黎曼面。既然光錐 是平坦的， 是保度量的，因此 是平坦的。類似地， 也是平坦的。這些平坦時空的每一個切片 都是一個虧格為 的黎曼面。而我們知道，這些結構可以用 個復參數( 個實參數)描述。
為了構造所有的平坦時空，我們考慮如下的同態映射。令 是 的universal cover，一個 中不可縮為一點的環 是從圓到 的映射，滿足 . 將 水平提升到 上未必是閉的，模去等距變換( 中的某個元素 )，它將依然是閉的。我們記此元素為 ，那麼根據cover的定義，顯然 和 是同態的。因此， 上的平坦結構提供了一個重要的映射：從基本羣到Poincare羣的同態。記基本羣 的像為 ，它是 的子羣，因此有平坦時空 .
我們知道，量子化2+1維引力的問題等價於考慮從基本羣到Poincare羣的同態的模空間。更廣義地，考慮宇宙學常數 ，是從基本羣到李羣 上的同態。對於 ，時空在局部上是de-Sitter空間， 是 ；對於 則是反de-Sitter空間， 是 。筆者近期完成的一篇文章中指出，考慮宇宙學常數，時空度量是Einstein的，並且宇宙學常數可以看做是Ricci標量在 上的平均，因此這裡也可以有有趣的討論。這裡 有 個生成元，考慮到共軛，此同態的模空間維數應為 。以 為例，模空間的維數為 ，正是之前得到的實參數的兩倍，原因則是，我們在這裡考慮了平移的生成元。
參考文獻
[1] B.S. DeWitt, Phys. Rev. 160 (1967).
[2] J.B. Hartle and S.W. Hawking, Phys. Rev. D28 (1983).
[3] E. Witten, Quantum field theory and the Jones polynomial, IAS preprint.
[4] E. Witten, Nuclear Physics, B311 (1988).
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