Erd?s-Lax Theorem(2)

Introduction

在譞譞：Erd?s-Lax Theorem(1) 中我們討論了多項式的根的模長均較大的情況，接下來我們就來講講根的模長均較小的情況。Turán發現瞭如下定理：

可以發現它和上一篇文章中的Erd?s-Lax Theorem簡直就是對偶命題。接下來我們用一個例子來感受一下這個「反向」Erd?s-Lax Theorem。

以n=2為例。

證：我們還是直接設，只不過這裡

不妨設，則由幾何意義得，這和上一篇文章是一致的，本文不再贅述。

那呢？

這仍然是不易求得的，因此我們要對它進行另一種放縮。

其中式(1)的恆等變換從中線長公式的角度理解是非常清晰的。如圖所示，點P對應，點A,B對應，C為線段AB的中點，則有。

因此，Quite Easily Done!

取等條件同樣是，驗證過程和上一篇文章相同，這裡也不再贅述。

我們直接證明一個加強命題。這個命題的證明最早由Malik完成。事實上，在上一篇文章的generalization部分我們已經提到了他把Erd?s-Lax Theorem推廣到了的情況，這裡他把Turán的工作推廣到了的情況。

例如可以取到等號

1.「反向」Erd?s-Lax Theorem的推廣與Erd?s-Lax Theorem的推廣幾乎可以一一對應，例如Proof中我們證明的加強命題。但下面這個命題是個例外：Govil證明瞭

而在上一篇文章中我們提到Erd?s-Lax型的該命題是不正確的。

一個反例是，則這裡

易得

而

因此，不成立

2.Aziz and Dawood證明瞭Turán的加強命題

並且不等式在時可以取到等號

3.Govil再次出手，把所有情況都討論並加強了一遍

1. 命題的證明中又用到了考慮實部的技巧，可以與上一篇文章配合食用

2.感覺沒什麼remark了，這個定理應該是目前幾個多項式相關的問題中證明最簡潔的了。

[1]N.K. Govil and R.N. Mohapatra,Markov and Bernstein Type Inequalities for Polynomials [J]J. of lnequal. & Appl., 1999, Vol. 3, pp. 349-387