路徑積分法推導泊松過程
本文分為兩部分。第一部分我先推導一個對任意的時間平穩獨立增量隨機過程都成立的方程。這個方程本質上是對隨機過程中所有可能發生的狀態求和,所以可以認為是路徑積分法。然後我通過引入一個條件來求解這個方程。通過引入這個條件,我可以得到泊松過程。本文的思路跟前面這篇文章(泊松過程的一些總結)的思路很像,都是先推導出一個普適的方程,然後將這個方程應用到某個特例上。
第一節:一個普適的積分方程
對於一個任意的計數過程,我們記時間區間
1.
2.
為了得到時間區間
- 隨機選取一個時刻
將時間區間切割為兩個區間,分別為 . - 要求區間
內事件發生 次,區間 內事件發生 次,其中 - 遍歷所有可能的
.
每次切割都會牽涉到三個事件,這三個事件是相互獨立的,分別為:
根據前面的假設,我們記
- 隨機選擇一個指標
,將區間 切割為兩部分 ,這個事件發生的概率為 - 要求區間
內事件發生 次,區間 內事件發生 次。這個事件發生的概率為 - 遍歷所有可能的
給定
對於不同的
當
做拉普拉斯變換得到
迄今為止,這個方法對所有的時間平穩獨立增量隨機計數過程都成立。為了求解上面的這個方程,我需要引入新的假設。不同的假設可以得到不同的計數過程。
第二節:泊松過程的推導
假設對於所有的概率
這個假設等價於,對於所有的
當
求解得到
當
根據條件
當
代入
可以用數學歸納法求解積分方程如下.
已知
對於任意的
當
所以對於任意的
兩邊同時乘以
積分得到
根據初始條件
因此,根據數學歸納法原理,我們求出了對於任意的
這正是參數為
附錄
這裡我要討論一下為什麼要求
對於一個獨立增量平穩隨機級數過程,
表示到時刻
下面引入泊松假設。假設在微小時間段內,事件發生一次的概率為
該方程對任意的
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