如何進行永磁同步電機全局優化設計

一、什麼是工程師文化二、什麼是遺傳演算法三、如何建立永磁體磁場模型四、如何建立繞組解析模型五、如何建立損耗以及散熱模型六、如何進行PMSM全局優化設計（Global Optimization）

一、什麼是工程師文化

知乎中有一個我很喜歡的問題：什麼是工程師文化？裡面有100多個回答，大家討論了什麼是自己心中的工程師文化，高票回答提出了如下觀點：

工程師文化，是一種內心的慾望與恐懼的表達。對創造的慾望，對世界的恐懼。因為慾望而創造，因為恐懼而改造。創造世界，改造世界。這種慾望是如此的強烈，這種慾望驅使著我們從樹上爬了下來，生起了火，蓋起了房，馴服了馬，開上了車，造出了原子彈，發射了好奇者。而這種恐懼也是如此的強烈，逼迫著我們不停的看向周圍的一切。

我覺得還要增加一點，就是工程師要有geek精神，優秀工程師不僅要改造世界，還需要用最小的成本，最大的效能改造世界。抽象的來說，工程師的任務，就是在滿足各種約束的情況下，把不確定的事情確定化，達到最優的目標。

舉個例子：我們現在要設計一個工字梁：

這個工字梁有幾何上三個參數需要確定，其中a = [1,10]mm、b = [50,150]mm、c = [50,250] mm，工字梁總長度是3m，材料的楊氏模量是200 ，密度是8000 。這個工字梁要起到一個什麼作用呢？中間要能承受一個集中力，兩端鉸支（可以旋轉）。要求這個梁在力的作用下最大應力要低於，重量低於20 。

一般的初級工程師碰到這個問題會怎麼做呢？我們知道，滿足約束的設計變數組合就是一個產品設計，這個我們一般稱之為可行解，就是滿足設計要求，那這麼找到一個可行解呢？去找前人的設計產品啊，都正常工作那麼多年了，肯定是一個可行解嘛，看看人家參數是什麼樣的，看看幾何參數在什麼範圍內，根據自己的經驗選上幾組參數，然後通過如下公式計算出梁的最大應力和重量：

其中為梁的抗彎截面模量。

比如假如嘗試了一下，，，計算一下呢得到，，應力和重量滿足要求，則設計結束，這樣做的好處就是設計的產品一般不會翻車，壞處就是永遠跟在別人的後面，沒有技術創新，或者只能進行微創新。

如果你是一個追求geek文化的工程師，顯然不會滿足前面的設計的？為什麼——因為滿足應力和重量的解太多了，我們只是找了其中一個可行解，而不是最優解。

那如何找最優解呢？——一個顯而易見的方法就是窮舉啊，我們把所有的設計組合都算一下一下，看看哪個是最優解。比如我們可以這麼做：將都分成10段，然後組合進行計算，這樣我們就可以通過次計算來找到我們最優解，perfect。

窮舉法在變數較少的時候是沒有問題的，但是在實際工程中會遇到很大的困難，因為實際中的變數都比較多，比如現在某個產品設計由10個變數，如果窮舉的話，每個變數也取10個值的話，那就要計算次，也就是10億次，這顯然是不現實的，那怎麼解決這個問題呢？

二、什麼是遺傳演算法

知乎詞條對遺傳演算法有如下描述，現摘抄如下：

遺傳演算法 (Genetic Algorithm)，是啟發式演算法 (heuristic algorithm)中比較經典的一種演算法，最早是由John Holland提出的；顧名思義，就是根據遺傳進化過程而設計的演算法了。簡單來講，遺傳演算法源自達爾文的進化論觀點「survival of the fittest」；在種群進化的過程中，大自然會不斷的選擇淘汰一部分適應能力差的個體，同時一些適應能力強的個體得意存活（進化）。

It is not the strongest of the species that survives, nor the most intelligent that survives. It is the one that is most adaptable to change.

遺傳演算法需要做的，就是模擬一個種群的進化過程；在這個過程里，我們可以簡單地認為：

基因（gene）組成了染色體（chromosome），基因由0或者1來表示（我們這裡只涉及二進位編碼）；
一條染色體由多個基因組成，即由0/1的字元串組成，如00000，01011；
一個種群（population）由多個個體（individual）組成，或者說是由多個染色體（chromosome）組成；
每個個體（染色體）的優劣由適應度（fitness）函數所決定；

比方說，我們要人為的構建一個知乎大V，這個大V需要有一些特徵，比方說身高、體重、長相、學歷、人品等等。據此，我們根據一定的編碼規則（encoding），可以隨機的生成一個用戶，比方說0001010111。假設我們已知了一個適應度函數，比方說你的眼緣....用以評價該用戶是否為大V（the quality of the chromosome）。那麼我們可以根據我們的fitness function計算得到該個體的適應度。重複這個過程，我們便可以得到多個知乎用戶，即一個種群。

基本流程：

初始化一個種群；
計算該種群每個個體的適應度；
進行選擇個體(selection)、交叉（crossover）、個體變異(mutation)等操作；
重複2-3步直到滿足停止規則

當然這裡會涉及到一些問題，比方說如何選擇selection的方法 (e.g., roulette wheel selection? tournament selection），如何選擇交叉、變異的方法等等。

在這個過程中，intuitively，「眼緣好」的子代（offspring）得以「繁衍生息」，從而不斷的產生「眼緣更好」的用戶；那麼最終，當我們停止演算法的時候，我們可以選出「眼緣最高」的這個知乎用戶作為知乎大V了。當然了，我們不能保證這個大V是全局最優解，除非你遍歷所有特徵的組合，不然你是不知道該用戶是不是所有可能的組合中「眼緣最高的」。

我們可以比較容易的理解，遺傳演算法的本質就是一個在解空間中不斷進行隨機搜索的演算法，在搜索過程中不斷地產生新的解，並保留更優的解。優點來說，我認為一方面它比較容易實現，另一方面它可以在接受的計算時間內，得到較好的結果；缺點來說，那自然就是隨機搜索帶來的問題了，除了搜索過程中會遇到的問題之外，顯而易見的就是無法保證獲得全局最優解了。

以上來自於知乎詞條「遺傳演算法」的描述，相關文章見詞條遺傳演算法。

對於上面的介紹大家可能沒有直觀的感受，我們還是拿工字梁做個例子：

我們把稱之為變數（variable），a = [1,10]mm、b = [50,150]mm、c = [50,250] mm稱之為變數區間（variable boundary），最大應力稱之為約束（constraints），重量最小稱之為目標函數或者適應度（objective function or fitness function），為了增加難度，增加一個目標——最大變形量def最小。其中最大變形量的表達式為：

所有變數組成變數空間（解空間），滿足約束的子空間即為可行解集合。通過計算，所有組合及其結果如下：

當然我們的目標值變化（區間減小）的話，解空間也會跟著變化（減小）。

可見對變形量和重量的影響更明顯，取下限時較好；的取值較為均勻，說明不是很敏感；的取值偏上限更好。

前面工字梁的例子較為簡單，我們來試一個稍微複雜的例子，一個表貼式永磁同步電機（PMSM）的設計。對於PMSM還不是很了解的童鞋們可先閱讀J Pan：如何快速理解永磁同步電機？，在文章中我們說了，永磁電機之所以能旋轉起來，是因為定子、轉子分別產生了一個旋轉的磁場，其中轉子磁場一般是永磁體產生的，定子磁場一般是繞組產生的，兩個磁場以相同的速度旋轉，就得到了一個恆定的轉矩。

要進行全局優化設計，必須先要有數學模型，下面主要從兩個方面來進行建模：轉子永磁體磁場如何建立和描述以及定子繞組磁場如何建立和描述。

三、如何建立永磁體磁場模型

3.1 氣隙磁密的建立

我們對電機的磁路模型進行抽象，在一個磁路裡面，有磁源（永磁體），有磁阻（主要是氣隙），如下圖所示。

永磁體的工作點為

根據磁勢守恆，可得

考慮到磁通有漏磁

考慮到極弧係數

其中為極弧係數，等效氣隙，和分別為永磁體對應面積和氣隙對應面積，為漏磁係數。為卡式係數，考慮到開槽的影響引入的修正係數。

聯立上面的方程可以得到永磁體產生的氣隙磁密為：

磁密的分布如下圖虛線所示

用傅里葉展開，可以得到各個階次的諧波為

當然，只有基波能產生恆定轉矩的，其數值為

3.2 永磁體產生的感應電動勢計算

每極產生的基波磁通（peak）為

假設和分別為極距和槽距

其中是氣隙直徑，則永磁體在每相繞組產生的基波磁鏈（peak）為

是基波繞組係數，為每相匝數。

則每相產生的永磁體感應基波電動勢（RMS）為

其中是基波頻率。

3.3 功率和力矩

線負荷定義為（雙層繞組）：

其中表示電流（RMS），是電機相數，則氣隙中產生的最大電磁功率為

假設電磁能全部轉化為機械能（可以通過控制實現），則產生的轉矩為：

進一步變換形式：

其中，，

3.2鐵芯主要尺寸估計

鐵芯的主要尺寸如下，

氣隙直徑可按如下估算：

齒寬和軛寬可作如下估算：

其中是疊壓係數，可根據槽滿率和電流密度估算槽的面積為：

其中為槽滿率，當然槽得的面積也可通過幾何尺寸計算

綜合以上兩式可以估算鐵芯的軛部直徑為

至此，所有鐵芯的基本尺寸都可以確定。

四、如何建立繞組解析模型

4.1 繞組電動勢計算

繞組的空間分布如下

和永磁體建立的磁場分析一致，繞組產生的基波磁動勢(RMS)為

氣隙中產生的基波磁密為

其中為總的等效氣隙。

4.2 繞組電感計算

如下圖所示，繞組產生的基波磁通為

則繞組產生的基波磁鏈為

則相電感為

忽略漏感，dq軸電感為

至於dq電感和相電感的關係，小潘專門有一篇文章，有興趣的參見J Pan：如何理解永磁電機各種電感？。

4.3 電阻計算

每相匝數為

round是圓整的意思，則導體所佔的槽面積為

其中是端部繞組長度，是繞組跨距

4.4 電壓計算

永磁電壓相量圖如下圖所示，其中左圖為內嵌式永磁電機相量圖，右圖為表貼式永磁電機相量圖。

我們只考慮表貼式永磁電機，採用控制，忽略電阻壓降，並且只考慮穩態，此時

五、如何建立損耗以及散熱模型

電機的損耗主要包括電損耗和機械損耗兩大類，為簡單期間，先忽略機械損耗。電損耗又包括兩類：銅損和鐵損。

5.1 銅損計算

銅損計算比較簡單，可按如下估算

其中

5.2 鐵損計算

鐵損計算比較複雜，很難計算準確，一般採用Steinmetz方法進行估算，即將鐵損分成兩個部分：磁滯損耗渦流損耗。

磁滯損耗可通過下式計算

其中是取決於材料的常數，一般取值在1.8到2.2之間。

渦流損耗的估算公式為

其中是疊片厚度，是材料電阻率，和幾何結構有關。

一般材料廠家都會給出不同頻率下的損耗曲線，如下圖所示

可用最小二乘法進行曲線擬合，將、和作為未知量，擬合結果如下

損耗的表達式為

5.3 外殼散熱係數估算

在J Pan：如何估算圓柱形電機外殼的散熱係數一文中，小潘介紹了怎麼計算一個圓柱形電機外殼的的表面散熱係數，

外殼的散熱係數估算公式如下

對於開槽電機，這個係數可適當進行放大，放大倍數在1.3到1.8之間。

六、如何進行PMSM全局優化設計（Global Optimization）

有了前面的模型，我們就可以對錶貼式永磁電機進行全局優化設計了，我們可以選取如下變數：

其中為極對數，為每極每相槽數，為線負荷，為電流密度，為長徑比，為齒部最大允許磁密，為軛部最大允許磁密，為極弧係數。當然這些變數選取不是唯一的，完全可以選取別的組合。

假設我們建立了已電機幾何模型與變數之間的函數：

約束是電壓和最大溫升

目標是體積最小，效率最高

計算結果如下（注意本設計僅做方法說明，不具有現實參考意義）：

上圖展示了所有變數組合及其對應的計算輸出，由於採用了遺傳演算法，計算量大大減小，所有計算只進行了8000次，時間約在3分鐘。我們也可以通過泡泡圖來看一下任意兩個變數（比如線負荷和電流密度）和目標函數（體積和效率）的對應關係。

一般來說，我們肯定是希望體積最小，效率最高，也就是說我們喜歡右下角的解。我們把右下角所有包絡的點取出來，稱之為Pareto圖，最優設計點肯定會落在Pareto圖上。

Pareto圖上每一點都可認為是一個最優設計（在效率和體積之間的權衡），比如我們可選擇如下設計，此時體積最小，效率也能接受。