動量守恆之推箱子模型

如圖，在光滑的冰面上，兩個小孩甲和乙迎面分別以速度 和 滑來，其中甲手中推著質量為 的箱子。為了避免碰撞，甲將手中的箱子以 向乙推出，乙接到箱子以後也以 將箱子向甲推出，甲接到以後再重複上面的過程......若甲質量為 ,乙的質量為 ，問箱子至少被推出幾次，才能避免相撞？

咳咳，在我正經回答之前，想吐槽一下。我x，小屁孩玩點什麼不好，非得在冰面上玩這麼危險的碰碰遊戲。。。撞死你活該。。。你媽沒教你這很危險的嗎？......

最終，我花了一節晚自習專門研究這種問題。

通過不懈努力，我終於研究出了這道題的萬能公式。

這種萬能公式可以解決任何這種類型的題目。

在講解萬能公式之前，我們先進行一些分析。

相信大家第一眼看見這種題目的時候，很多人都是一臉懵逼的。確實，這道題的難點就在於中間量很多，物體的運動變化情況很多。並且還有對不相撞的臨界條件的理解。

我們分析一下不相撞的臨界條件。不相撞的臨界條件是：乙在某次接到箱子以後，和兩人速度相等。

為什麼呢？當甲和乙速度相等的時候，兩個對象是相對靜止的。此後就不會出現一個對象的位置相對於另一個對象發生變化了。

有人問，臨界條件為啥不是甲在某次接到箱子以後兩人速度相等，而是乙呢？沒錯這就是理解的難點。讓我們先帶著這個問題去分析這個臨界條件。

首先，我們以右為正,甲第一次投出箱子時，根據動量守恆定律，我們得到了方程

, 是甲推出箱子後的速度

我們總體來看，投出箱子以後，原先甲和箱子組成的系統，推出箱子以後，損失掉了箱子的質量，也就意味著損失的動量為

然後乙接到了箱子，這個時候，根據動量守恆，我們得到了方程

,其中 是乙接到箱子以後，乙和箱子的共同速度。

我們也可以知道，乙接到箱子以後，收到的動量是 。

當乙推出箱子以後，根據動量守恆，我們有方程

, 是乙推出箱子後乙的速度。

這個時候，損失的動量還是

當甲再收到箱子，根據動量守恆，有

, 是甲接到箱子以後和箱子的共速。

甲接到箱子以後，動量也還是損失了

我們類比以上過程，當甲接到箱子以後，再推給乙，乙再推給甲......不斷重複這個過程。我們可以得到一個結論，

每一次收到或推出箱子，動量的變化量始終為

這是一個非常重要的結論，是我們理解的關鍵點。

我們這樣想，當傳遞次數到達一定次數後，甲會以更小的速度繼續向右，乙會靜止下來。這個時候仍然有相撞危險。然後甲再繼續推箱子，讓乙往右運動。當傳遞次數再到達一定次數後，甲和乙會有向右的共同速度。這個時候，甲乙之間沒有相對速度，就沒有相撞的危險了。

那我們用等效思想，既然甲乙每次收到和推出時動量改變數都相同，那麼我們可以等效為：等效這個箱子甲第一次推出後，乙第一次接到後，甲就和乙就有共同速度。

甲一次推出箱子，改變的動量為 ,同理，乙也是這個該變數。

這樣，那個臨界條件就好理解了。臨界條件是：乙在某次接到箱子以後，和兩人速度相等。

這個時候用等效思想來說就相當於，等效這個箱子甲第一次推出後，乙第一次接到後，甲就和乙就有共同速度。

好叻，臨界條件分析完了，接下來就是給出萬能公式了。我再把題目和圖發一遍。