动量守恒之推箱子模型

如图，在光滑的冰面上，两个小孩甲和乙迎面分别以速度 和 滑来，其中甲手中推著质量为 的箱子。为了避免碰撞，甲将手中的箱子以 向乙推出，乙接到箱子以后也以 将箱子向甲推出，甲接到以后再重复上面的过程......若甲质量为 ,乙的质量为 ，问箱子至少被推出几次，才能避免相撞？

咳咳，在我正经回答之前，想吐槽一下。我x，小屁孩玩点什么不好，非得在冰面上玩这么危险的碰碰游戏。。。撞死你活该。。。你妈没教你这很危险的吗？......

最终，我花了一节晚自习专门研究这种问题。

通过不懈努力，我终于研究出了这道题的万能公式。

这种万能公式可以解决任何这种类型的题目。

在讲解万能公式之前，我们先进行一些分析。

相信大家第一眼看见这种题目的时候，很多人都是一脸懵逼的。确实，这道题的难点就在于中间量很多，物体的运动变化情况很多。并且还有对不相撞的临界条件的理解。

我们分析一下不相撞的临界条件。不相撞的临界条件是：乙在某次接到箱子以后，和两人速度相等。

为什么呢？当甲和乙速度相等的时候，两个对象是相对静止的。此后就不会出现一个对象的位置相对于另一个对象发生变化了。

有人问，临界条件为啥不是甲在某次接到箱子以后两人速度相等，而是乙呢？没错这就是理解的难点。让我们先带著这个问题去分析这个临界条件。

首先，我们以右为正,甲第一次投出箱子时，根据动量守恒定律，我们得到了方程

, 是甲推出箱子后的速度

我们总体来看，投出箱子以后，原先甲和箱子组成的系统，推出箱子以后，损失掉了箱子的质量，也就意味著损失的动量为

然后乙接到了箱子，这个时候，根据动量守恒，我们得到了方程

,其中 是乙接到箱子以后，乙和箱子的共同速度。

我们也可以知道，乙接到箱子以后，收到的动量是 。

当乙推出箱子以后，根据动量守恒，我们有方程

, 是乙推出箱子后乙的速度。

这个时候，损失的动量还是

当甲再收到箱子，根据动量守恒，有

, 是甲接到箱子以后和箱子的共速。

甲接到箱子以后，动量也还是损失了

我们类比以上过程，当甲接到箱子以后，再推给乙，乙再推给甲......不断重复这个过程。我们可以得到一个结论，

每一次收到或推出箱子，动量的变化量始终为

这是一个非常重要的结论，是我们理解的关键点。

我们这样想，当传递次数到达一定次数后，甲会以更小的速度继续向右，乙会静止下来。这个时候仍然有相撞危险。然后甲再继续推箱子，让乙往右运动。当传递次数再到达一定次数后，甲和乙会有向右的共同速度。这个时候，甲乙之间没有相对速度，就没有相撞的危险了。

那我们用等效思想，既然甲乙每次收到和推出时动量改变数都相同，那么我们可以等效为：等效这个箱子甲第一次推出后，乙第一次接到后，甲就和乙就有共同速度。

甲一次推出箱子，改变的动量为 ,同理，乙也是这个该变数。

这样，那个临界条件就好理解了。临界条件是：乙在某次接到箱子以后，和两人速度相等。

这个时候用等效思想来说就相当于，等效这个箱子甲第一次推出后，乙第一次接到后，甲就和乙就有共同速度。

好叻，临界条件分析完了，接下来就是给出万能公式了。我再把题目和图发一遍。