詳解最大似然估計（MLE）、最大後驗概率估計（MAP），以及貝葉斯公式的理解（轉載）

本文原作者: nebulaf91

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最大似然估計（Maximum likelihood estimation, 簡稱MLE）和最大後驗概率估計（Maximum a posteriori estimation, 簡稱MAP）是很常用的兩種參數估計方法，如果不理解這兩種方法的思路，很容易弄混它們。下文將詳細說明MLE和MAP的思路與區別。

但別急，我們先從概率和統計的區別講起。

概率和統計是一個東西嗎？

概率（probabilty）和統計（statistics）看似兩個相近的概念，其實研究的問題剛好相反。

概率研究的問題是，已知一個模型和參數，怎麼去預測這個模型產生的結果的特性（例如均值，方差，協方差等等）。舉個例子，我想研究怎麼養豬（模型是豬），我選好了想養的品種、餵養方式、豬棚的設計等等（選擇參數），我想知道我養出來的豬大概能有多肥，肉質怎麼樣（預測結果）。

統計研究的問題則相反。統計是，有一堆數據，要利用這堆數據去預測模型和參數。仍以豬為例。現在我買到了一堆肉，通過觀察和判斷，我確定這是豬肉（這就確定了模型。在實際研究中，也是通過觀察數據推測模型是／像高斯分布的、指數分布的、拉普拉斯分布的等等），然後，可以進一步研究，判定這豬的品種、這是圈養豬還是跑山豬還是網易豬，等等（推測模型參數）。

一句話總結：概率是已知模型和參數，推數據。統計是已知數據，推模型和參數。

顯然，本文解釋的MLE和MAP都是統計領域的問題。它們都是用來推測參數的方法。為什麼會存在著兩種不同方法呢？這需要理解貝葉斯思想。我們來看看貝葉斯公式。

貝葉斯公式到底在說什麼？

學習機器學習和模式識別的人一定都聽過貝葉斯公式(Bayes』 Theorem)：

$P(A|B)=frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}$ 【式1】

貝葉斯公式看起來很簡單，無非是倒了倒條件概率和聯合概率的公式。

把B展開，可以寫成：

$P(A|B)=frac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|sim A)P(sim A)}$ 【式2】（～A～A表示」非A」）

這個式子就很有意思了。

想想這個情況。一輛汽車（或者電瓶車）的警報響了，你通常是什麼反應？有小偷？撞車了？不。。你通常什麼反應都沒有。因為汽車警報響一響實在是太正常了！每天都要發生好多次。本來，汽車警報設置的功能是，出現了異常情況，需要人關注。然而，由於虛警實在是太多，人們漸漸不相信警報的功能了。

貝葉斯公式就是在描述，你有多大把握能相信一件證據？（how much you can trust the evidence）

我們假設響警報的目的就是想說汽車被砸了。把A計作「汽車被砸了」，B計作「警報響了」，帶進貝葉斯公式里看。我們想求等式左邊發生A|B的概率，這是在說警報響了，汽車也確實被砸了。汽車被砸引起（trigger）警報響，即B|A。但是，也有可能是汽車被小孩子皮球踢了一下、被行人碰了一下等其他原因（統統計作～A），其他原因引起汽車警報響了，即B|～A。那麼，現在突然聽見警報響了，這時汽車已經被砸了的概率是多少呢（這即是說，警報響這個證據有了，多大把握能相信它確實是在報警說汽車被砸了）？想一想，應當這樣來計算。用警報響起、汽車也被砸了這事件的數量，除以響警報事件的數量（這即【式1】）。進一步展開，即警報響起、汽車也被砸了的事件的數量，除以警報響起、汽車被砸了的事件數量加上警報響起、汽車沒被砸的事件數量（這即【式2】）。

可能有點繞，請稍稍想一想。

再思考【式2】。想讓P(A|B)=1，即警報響了，汽車一定被砸了，該怎麼做呢？讓P(B|～A)P(～A)=0即可。很容易想清楚，假若讓P(～A)=0，即杜絕了汽車被球踢、被行人碰到等等其他所有情況，那自然，警報響了，只剩下一種可能——汽車被砸了。這即是提高了響警報這個證據的說服力。

從這個角度總結貝葉斯公式：做判斷的時候，要考慮所有的因素。老闆罵你，不一定是你把什麼工作搞砸了，可能只是他今天出門前和太太吵了一架。

從這個角度思考貝葉斯公式：一個本來就難以發生的事情，就算出現某個證據和他強烈相關，也要謹慎。證據很可能來自別的雖然不是很相關，但發生概率較高的事情。發現剛才寫的代碼編譯報錯，可是我今天狀態特別好，這語言我也很熟悉，犯錯的概率很低。因此覺得是編譯器出錯了。 ————別，還是先再檢查下自己的代碼吧。

好了好了，說了這麼多，下面言歸正傳，說一說MLE。

——————不行，還得先說似然函數（likelihood function）

似然函數

似然（likelihood）這個詞其實和概率（probability）是差不多的意思，Colins字典這麼解釋：The likelihood of something happening is how likely it is to happen. 你把likelihood換成probability，這解釋也讀得通。但是在統計裡面，似然函數和概率函數卻是兩個不同的概念（其實也很相近就是了）。

對於這個函數：

P(x|θ)

輸入有兩個：x表示某一個具體的數據；θ表示模型的參數。

如果θ是已知確定的，x是變數，這個函數叫做概率函數(probability function)，它描述對於不同的樣本點x，其出現概率是多少。

如果x是已知確定的，θ是變數，這個函數叫做似然函數(likelihood function), 它描述對於不同的模型參數，出現x這個樣本點的概率是多少。

這有點像「一菜兩吃」的意思。其實這樣的形式我們以前也不是沒遇到過。例如， $f(x,y)=x^{y}$ , 即x的y次方。如果xx是已知確定的(例如x=2)，這就是 $f(x,y)=2^{y}$ , 這是指數函數。如果y是已知確定的(例如y=2)，這就是 $f(x,y)=x^{2}$ ，這是二次函數。同一個數學形式，從不同的變數角度觀察，可以有不同的名字。

這麼說應該清楚了吧？如果還沒講清楚，別急，下文會有具體例子。

現在真要先講講MLE了。。

最大似然估計（MLE）

假設有一個造幣廠生產某種硬幣，現在我們拿到了一枚這種硬幣，想試試這硬幣是不是均勻的。即想知道拋這枚硬幣，正反面出現的概率（記為θ）各是多少？

這是一個統計問題，回想一下，解決統計問題需要什麼？數據！

於是我們拿這枚硬幣拋了10次，得到的數據（ $x_{0}$ ）是：反正正正正反正正正反。我們想求的正面概率θ是模型參數，而拋硬幣模型我們可以假設是二項分布。

那麼，出現實驗結果 $x_{0}$ （即反正正正正反正正正反）的似然函數是多少呢？

$f(x_{0}, heta)=(1- heta) imes heta imes heta imes heta imes heta imes(1- heta) imes heta imes heta imes heta imes(1- heta)= heta^{7}(1- heta)^{3}=f( heta)$

注意，這是個只關於θ的函數。而最大似然估計，顧名思義，就是要最大化這個函數。我們可以畫出f(θ)的圖像：

可以看出，在θ=0.7時，似然函數取得最大值。

這樣，我們已經完成了對θ的最大似然估計。即，拋10次硬幣，發現7次硬幣正面向上，最大似然估計認為正面向上的概率是0.7。（ummm..這非常直觀合理，對吧？）

且慢，一些人可能會說，硬幣一般都是均勻的啊！就算你做實驗發現結果是「反正正正正反正正正反」，我也不信θ=0.7。

這裡就包含了貝葉斯學派的思想了——要考慮先驗概率。為此，引入了最大後驗概率估計。

最大後驗概率估計

最大似然估計是求參數θ, 使似然函數 $P(x_{0}| heta)$ 最大。最大後驗概率估計則是想求θ使 $P(x_{0}| heta)P( heta)$ 最大。求得的θ不單單讓似然函數大，θ自己出現的先驗概率也得大。（這有點像正則化里加懲罰項的思想，不過正則化里是利用加法，而MAP里是利用乘法）

MAP其實是在最大化 $P( heta|x_{0})=frac{P(x_{0}| heta)P( heta)}{P(x_{0})}$ ，不過因為 $x_{0}$ 是確定的（即投出的「反正正正正反正正正反」）， $P(x_{0})$ 是一個已知值，所以去掉了分母 $P(x_{0})$ （假設「投10次硬幣」是一次實驗，實驗做了1000次，「反正正正正反正正正反」出現了n次，則 $P(x_{0})=frac{n}{1000}$ 。總之，這是一個可以由數據集得到的值）。最大化 $P( heta|x_{0})$ 的意義也很明確， $x_{0}$ 已經出現了，要求θ取什麼值使 $P( heta|x_{0})$ 最大。順帶一提， $P( heta|x_{0})$ 即後驗概率，這就是「最大後驗概率估計」名字的由來。