這次發單擺模型的幾個變式。單擺模型近年來高考火度有愈演愈烈之勢。

在閱讀本文之前，我先問大家幾個問題，作為對基礎的檢驗。若基礎不過關，請先將基礎紮實後再來閱讀本文：

1.單擺模型的周期公式？

2.上一問題中，物理量 l 是擺線長度嗎？

3.單擺模型理想化的條件？

4.如何通過改變加速度來改變單擺周期大小？

如果你能毫不費力地回答以上問題，並且沒有遲疑，那麼說明你的基礎已經到位了。接下來開始本模型的變式拓展。

本次介紹的是以下幾個模型：

沙漏擺、雙線擺、鴛鴦擺、勒擺、碰撞擺、斜面擺和單擺的等效重力加速度原理應用。

首先是沙漏擺——最簡單的但稍不留心就容易出錯的一種模型。

如圖，一個沙漏里裝少許沙子，然後與擺線連接，然後讓它進行小幅度擺動。擺動時沙子會通過沙漏不斷漏下。請問這種擺的周期會如何變化？很多同學馬上想到的是公式 T=2πsqrt{frac{l}{g}}

想當然地得到：質量變化不會影響單擺周期。

從而推出：這種擺的周期不會變。

那麼就錯了。錯就錯在把沙漏當成了一個質點。在本模型中沙漏是不能當成質點的。

因為隨著沙子漏下，到漏完之間，擺件的重心一直在下降。

做錯的同學們要理解周期公式的含義。公式中的 l 是擺件重心到做單擺運動的圓弧圓心的距離。

重心下降，導致物理量 l 的變大，進而導致周期變大。當沙子漏完以後，重心會突然上升，周期再次變小。整個過程中，沙漏擺做的不是簡諧運動。

只有質量變化但質量分布一直保持均勻的物體才不會影響周期。所以大家做這種題目一定要警惕起來，觀察擺件是否能看成質點或擺件的重心變化。

接下來是雙線擺

如圖，一個可視為質點的小球被兩端繩子系住，兩端繩子的上端分別和天花板夾角為 heta_{1} 、 heta_{2} .繩長分別為 L_{1} 、 L_{2} .當小球以垂直於紙面(屏幕)的方向做單擺運動的時候，那麼小球的周期為

T=2pi sqrt{frac{L_{1}sin heta _1}{g}}=2pi sqrt{frac{L_{2}sin heta _2}{g}} .

在這裡有一個重要的概念：等效擺長。上面公式中的 L_{1}sin heta _1 和 L_{2}sin heta _2 就是等效擺長。

此圖中紅線OA長度就是等效擺長。即 OA=L_{1}sin heta _1=L_{2}sin heta _2

根據單擺的周期公式 T=2πsqrt{frac{l}{g}} ，大家要明白一點就是，公式中的 l 的，名字叫擺長。擺長是擺件重心到圓弧圓形的距離。

我再變個式：

在這裡大家還能認出等效擺長嗎？OA還是OC還是AC？

當然是OC。如果你能一眼就能認出來，說明你對擺長的定義已經了解熟練了。

如果沒有認出來，我再把定義重述一遍：擺長是擺件重心到圓弧圓形的距離。請細細品味。

接下來是鴛鴦擺。研究的是兩個擺的周期和擺長的關係

如圖，兩個質量不相同但都可視為質點的小球被細繩系住吊在天花板上，那麼同時放開兩個小秋讓其下落擺動的時候，那麼兩個小球的周期之比的平方等於其擺線長度之比。

即 frac{T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}=frac{L_{1}}{L_{2}} .這個關係式請大家一定要熟悉。

還有一種模型是勒擺模型。

如圖一個可視為質點小球被繩系住以後釋放擺動，經過最低點時一段繩子被勒住一部分。那麼此時小球做的是兩個不同的半單擺運動。此時，滿足以下兩個關係：

1.由上圖可以得到

heta_{1}＜ heta_{2}

2.小球擺動一個周期中，在 AB 段(注意是AB段運動的總時間，不是從A到B的運動時間)的運動時間 t_{AB}=πsqrt{frac{L_{1}}{g}} ,在 BC 段的運動時間 t_{BC}=πsqrt{frac{L_{2}}{g}} .所以這種擺的運動周期為

T=t_{AB}+t_{BC}=πsqrt{frac{1}{g}}(sqrt{L_{1}}+sqrt{L_{2}}) .

碰撞擺研究的是兩個相互作用的擺件的關係。

如圖，兩個擺長相等的擺件相互接觸但沒有力的作用。先將其中的一個擺件拉到一定高度，

再釋放。那麼就要和另外一個小球相碰。那麼：

1.無論兩個小球質量之比如何，下次相碰的時候兩個小球還是在最低點。

2.每發生碰撞一次的時間間隔為 t=frac{T}{2}=πsqrt{frac{l}{g}} .

因為根據單擺周期公式 T=2πsqrt{frac{l}{g}} ，兩個小球相碰以後，到達最低點的時間是一樣的。到達最低點的時間和小球的線速度無關。

那如果是這種情況：

擺長不相等質量相等的情況下，

1.根據動量守恆碰撞模型，小球還是在最低點相碰。小球碰撞後實現速度交換。即碰撞另一個小球以後自己就停下來。

2. A 球碰一次 B 球的時間間隔為 t_{A}=frac{1}{2}πsqrt{frac{L_{1}}{g}} , B 球碰撞一次 A 球的時間間隔為 t_{B}=frac{1}{2}πsqrt{frac{L_{2}}{g}} .

有人想問我，擺長和質量都不相等會如何？

其實這個問題涉及到涉及到的過程是非常複雜的，討論的情況非常多。難度也非常大，超過了高考的考綱難度要求。且高考不會考這部分內容。本文不做討論。同學只需要掌握擺長相等質量不相等、質量相等擺長不相等兩塊內容，高考足夠用了。

接下來的內容就要用物理思想滲透了。這是非常重要的思想方法：等效和類比法。

如圖，在一個光滑的斜面上，一個可視為質點的小球被長為 l 的細繩固定在斜面。小球在斜面上做單擺運動。求其周期公式。我們首先在斜面側面對小球進行加速度分析。

根據單擺運動的特點：單擺運動所需要的重力加速度和擺線共線，可以類比為：重力加速度的斜面方向的分加速度，就是做斜面單擺運動所需要的「重力」加速度。

於是我們得到斜面單擺運動的周期公式：設斜面傾角為 heta ，那麼其周期

T=2πsqrt{frac{l}{gsinθ}} 。

接下來試想，在勻加速直線運動的電梯里的單擺，它做單擺的加速度是什麼呢？

如圖在一個電梯內，電梯以向上的加速度 a 運動。此時單擺超重，求此時小球的單擺周期？

沒錯我相信各位聰明的同學都能得到 T=2πsqrt{frac{l}{g+a}} .類比單擺失重的時候是 T=2πsqrt{frac{l}{g-a}}(g≠a) .當g=a時不做單擺運動。

在高考中有的問題會把帶電小球放在電場中，而不是重力場。此時應該怎麼辦呢？

用電場等效重力場就行了。我相信各位同學對此模型已經深有領悟了。我就不講了。

本知識點到此結束。為了寫本知識點，我參考了以下資料。特此註明：

1.關於「異型擺的等效擺長和等效重力加速度」的探討 - 論文 - 百度文庫

2.[圖文]單擺的等效擺長、等效重力加速度、等效模型問題 - 百度文庫

諸位若需要習題可參考這裡的習題：

3.單擺模型變式 - 百度文庫

寫在最後：

如果有不懂得可以來私信我。如果發現有錯誤，請不吝賜教。必將感謝。

最後，祝願各位理科生高考物理考到理想的分數。

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