深度學習演算法是否能根據輸入的圓周率推出圓周率的計算方法？

@章彥博的回答很好地解釋了這個問題。因為圓周率的計算方法是不唯一的，所以理論上給出圓周率的近似表示，計算機總能找到一堆方法能最終得到這個數值。因此，僅僅從「圓周率」的數值得到計算方法是不現實的，不過，這個問題稍稍變一變，在一些特殊的情況下可能是有意義的問題。我在這裡還可以做一個補充。

十九世紀末二十世紀初，在印度，曾經出現過一位天才的數學家，他的名字叫拉馬努金，前些年有一部電影講到他的故事，叫《知無涯者》。拉馬努金雖然沒受過正規的高等教育，但他卻有著對數字的極端敏感，他一生留下了幾本筆記，裡面提出了大量的公式，然而很多都沒有給出證明，不過後來都被驗證是正確的。他寫出來的公式千奇百怪，大致就是如下圖所示的這樣風格的：

可以看到，這些公式的一個重要的特點就是常常與 π 相關，事實上，用這些公式都可以幫助我們計算得到 π 的數值，而且常常還能算得非常精確。這些公式不但是正確的，而且還與很多深刻的數學分支有關，因此啟發了後來的許多數學家。拉馬努金是天才式的人物，然而他到底是怎樣找到這些奇奇怪怪的公式的？這個問題其實一直以來仍然困擾著數學家們。根據輸入的圓周率，直接來推出圓周率的計算方法可能是不現實的，然而是否有可能可以通過拉馬努金公式（圓周率的計算方法），用深度學習（或者其它的一些啟發式的方法），是否有可能可以繼續不斷生成無窮無盡的拉馬努金公式？從有限的計算方法到更多的計算方法，這很可能是一個有意思的問題。

很有意思的問題，總結來說，我認為目前的技術水平達不到。或者說是，無法可重複地達到題主的目標。

所謂推理，有「演繹推理」、「歸納推理」，以及「溯因推理」。所謂「演繹推理」，就如「三段論」一般，按部就班地得到結論。一個最著名的「三段論」如下：

凡人都會死（大前提）。
蘇格拉底是人（小前提）。所以：蘇格拉底會死（結論）。

在這個過程中，沒有任何創造。演繹推理只是「發現」這個過程中的必要步驟，但絕不是關鍵步驟。

歸納推理是科學研究中常用的推理模式。比如說，我觀測了大量的數據，得知了單擺周期與擺長的關係數據。進而，我可以計算各種不同擺長與周期的關係。這是從數據中歸納得到的，也是深度學習可以做到的。但單純的歸納推理，所發現的仍然是現象層面的東西，雖然通常都經過了簡化，但仍然不是「機理」、「動力學」。有價值的研究通常不會停留在這個層面，而會去更深挖一層，去研究背後的機理，而非簡單的關係。當然，這不是說這類研究就完全沒有價值，積累數據，特別是積累高質量的數據，對於科學是有很大意義的，但它不是科學的直接推動者。

到了第三層，溯因推理，才可以解決題主的問題。所謂圓周率，只是一個實數標量，唯一不變，是無法去歸納的。這個數值存在於此，有很多種解釋。用更加形式化的語言說，會存在很多程序，都可以生成這個數據。比如直接輸出這個數值，這當然是一個可行的計算方法。但它太過於複雜。所以進一步，我們可以去問，如何找到最簡單的、可以生成這個數的程序？這個問題很難。而且，不存在這樣一個通用的、可以解決所有這類問題的程序。因為這在數學上已經證明了，這類問題是不可計算的。是無法按部就班，找到最佳解釋的。