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圓錐曲線光學性質的直觀證明

問

怎麼證明圓錐曲線的光學特性，最好有不用到求導的方法？

答

由橢圓的定義——平面上，到定點 與 距離之和為定值 的點的軌跡，這個定義蘊含著一個很顯然的事實：

  • 當 在橢圓外時，有 ；
  • 當 在橢圓上時，有 ；
  • 當 在橢圓內時，有 .

見上圖，過橢圓上一點 的切線，除 點外切線上任意一點 都在橢圓外（凸性），於是由上面的觀察得到：

所以 點是切線上到定點 與 距離之和最小點，故 點是反射點。

  • 拋物線

在理解橢圓光學性質的基礎上，我們先固定一個焦點 ，然後將另一個焦點 牽引到無窮遠處，離心率

即橢圓最終變為拋物線，而此時反射光 的極限位置平行於橢圓長軸。[1]

  • 雙曲線

類似於橢圓的分析，不過我們要熟悉一個結論：

引理

如上圖 ，選取直線 上的動點 ，使得 最大，當且僅當 平分 .

證

在 上取 點關於直線 的對稱點 ，於是

只需證明當取直線上其他點 時，總有

即可完成證明

連接 ，由 得

而在 中，由兩邊只差小於第三邊立即可得

有了這個引理，那麼接下來的分析順理成章

見上圖， 是雙曲線過 點的切線. 我們定義函數 ，雙曲線將平面分割為三個部分，我們命名焦點一側的區域為「雙曲線內部」，另一個連通區域為「外部」. 由雙曲線定義蘊含以下事實：

  • 當 點位於雙曲線內部時， ；
  • 當 點位於雙曲線上面時， ；
  • 當 點位於雙曲線外部時， ；

而切線 上僅有一點 滿足 ，其餘各點 皆有 ，所以 是切線 上的最大值點，也就是使得

由上引理，必有 平分 .

參考

  1. ^希爾伯特《直觀幾何》

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