最近想自學一些金工的基礎，但可惜隨機過程的課中並沒有涵蓋Ito Calculus，在自學的過程中又發現了更大的坑（日常）。於是決定自（瞎）學（搞）。

本人水平極低，在學習和碼字過程中難免有誤，望指正，暢所欲言。

先修課程：數學分析，實變函數（實分析），概率論（推薦測度論版），隨機過程（了解最基礎的定義即可）。

1. Wiener Process

1.1 Definition

個人認為隨機過程的一大難點是定義很多，很複雜。很多基礎的隨機過程都有至少兩個等價的定義，維納過程也不例外。下面給出第一個定義：

維納過程是一個連續時間的隨機過程 W(t) ， W(t)in mathbb{R} ， t in [0, +infty) ，滿足：（我中文和英文都不太行，就不翻譯了）

(a) W(0)=0 a.s.;

(b) the sample paths tmapsto W(t) are continuous a.s.;

(c) for any finite sequence of times 0 < t_1 < cdots < t_n , and Borel sets

A_1, A_2, cdots, A_n subset mathbb{R} ,

egin{aligned} &P{W(t_1)in A_1, cdots, W(t_n)in A_n} \ &=idotsint_{A_1, cdots, A_n} p(t_1,0,x_1)p(t_2-t_1,x_1,x_2)cdots p(t_n-t_{n-1},x_{n-1},x_n) ,dx_1 dots dx_k end{aligned},where

egin{aligned} p(t,x,y)=frac{1}{sqrt{2pi t}} exp(-frac{(x-y)^2}{2t}) end{aligned}

defined for any x, y in mathbb{R} and t > 0 is called the transition density.

這是一個非常嚴格，同時也是一個不怎麼看得懂的定義。咱們先研究一些簡單情況，比如說令條件(c)中 n=1 ，注意 p(t,x,y) 就是正態分布的密度函數，可以得到 W(t_1) sim N(0, t_1) 。所以單看維納過程的一個點，其實就是服從正態分布而已，沒有別的信息了。這個結論看上去就親切了很多，關於 W(t) 的各階矩的信息也就都能算了。

再看看 n=2 的情況，注意到 p(t,x,x+u)=p(t,0,u) ，我們有以下非常實用的命題成立：

任給 0leq s < t，W(t)-W(s) sim N(0, t-s) 。

這個命題告訴我們維納過程增量的分布，同時暗含維納過程的平穩獨立增量性。於是我們便引出維納過程的第二個定義：

A stochastic process W(t), t geq 0 , is a Wiener process if and only if the following conditions hold:

(a) W(0)=0 a.s.;

(b) the sample paths tmapsto W(t) are continuous a.s.;

(c) W(t) has stationary independent increments;

(d) the increment W(t) - W(s) has the normal distribution with mean 0 and variance t-s for any 0leq s < t .

這是一個看上去友善得多的定義。注意我們之前的論述只是證明了充分性，必要性通過獨立正態分布的密度函數做累乘即可，應該是比較直接的結果。

還有一個用鞅描述的等價定義，但書上沒有給證明。我水平有限，目前也沒看到有什麼背後的含義在裡面，感興趣的可以搜Levys martingale characterization。

1.2 Sample Paths

這一部分主要討論維納過程的路徑問題，也就是它與普通的函數有所區別的地方。

首先先來討論一種比較簡單的情形：設 0=t_0^n<t_1^n<cdots <t_n^n=T ，且 t_i^n=frac{iT}{n} ，也就是把 [0, T] 區間n等分。我們記

Delta_i^n W = W(t_{i+1}^n)-W(t_i^n) .

下面給出一條引理：

lim_{n ightarrow infty}sum_{i=0}^{n-1}(Delta _i^n W)^2=T in L^2 .

即

lim_{n ightarrow infty}E([sum_{i=0}^{n-1}(Delta _i^n W)^2-T]^2)=0

這個的證明也是比較直接的，注意到 Delta _i^n W 是獨立的，把求和號拆到外面去就好算了，畢竟只是一種簡單情形。

這個極限在性質比較好的函數（可導且導函數在 [0,t] 間有界）下，應該是0而不是T，目測一下就知道是很顯然的，用拉格朗日中值定理也可以很快得證。所以從直觀感覺上Wiener Process會比一般的函數要更「好動」一點。

運用一些概率論的知識： L^p 收斂是可以推出convergence in probability的(Chebychevs inequality)，所以會存在一個a.s.收斂的子列（實變函數/實分析中的定理），後面會用到。

如果還不太好理解的話，咱們可以編個程序：（為了節省空間，就只放運行結果了）

當然這只是一個直觀的感受，也不能判斷出是以何種方式收斂。

接下來介紹一個跟上面很相似的概念：

The variation of a function f:[0,T] ightarrow mathbb{R} is defined to be

limsup_{Delta t ightarrow 0}sum_{i=0}^{n-1}left | f(t_{i+1})-f(t_i) ight |,

where t=(t_0, t_1, cdots, t_n) is a partition of [0, T] , i.e. 0=t_0<t_1<cdots <t_n=T , and where

Delta t=max_{i=0,cdots, n-1}left | t_{i+1}-t_i ight |.

這個式子有點積分的感覺，大家可以隨手畫個曲線體會一下。放一個在簡單情形下的結論：

如果 f 是一個可導函數且 f Riemann可積，則 f 的variation等於

V_b^a (f) = int_b^a left | f(x) ight | dx

我們發現這玩意有點像Newton-Leibniz Formula。而且如果 a,b 都是有限數的話這個variation也是有限的。而對於Wiener Process，上述結論就不成立了：

The variation of the paths of W(t) is infinite a.s.

這個結論怎麼證呢？咱們總得想辦法把前面的那個引理用上呀。引理給的是平方，要證的是一次方，那就得試試放縮啥的。

證明：咱們為了運用引理，先考慮跟引理一樣的 t^n = (t_0^n, t_1^n, cdots, t_n^n) ，將 [0, T] 平分成n份。放縮一步：

sum_{i=0}^{n-1}left | Delta_i^n W ight |^2 leq (max_{i=0,cdots, n-1}left | Delta_i^n W ight |)sum_{i=0}^{n-1}left | Delta_i^n W ight |

由Wiener Process是a.s.連續的，所以

lim_{n ightarrow infty}max_{i=0,cdots, n-1}left | Delta_i^n W ight | =0 a.s.成立；

根據引理，存在子列 t^{n_k} = (t_0^{n_k}, t_0^{n_k}, cdots, t_{n_k}^{n_k}) ，使得

lim_{k ightarrow infty}sum_{i=0}^{n_k -1}left | Delta_i^{n_k} W ight |^2=T a.s.成立；

於是便得到

lim_{k ightarrow infty}sum_{i=0}^{n_k -1}left | Delta_i^{n_k} W ight |=infty a.s.成立。

要證的是上極限，而上極限肯定不小於 sum_{i=0}^{n_k -1}left | Delta_i^{n_k} W ight | ，那麼原命題就得證了。Q.E.D.

這就是Riemann積分不再適用於隨機過程的原因，如果按照舊的定義的話積分的值就都不存在了，所以需要特殊的處理方式，在下一章會詳細講。

同樣地，咱們可以搞個程序來「驗證」一下結論：

同樣地，這個結果並不夠嚴格（我都取的是等距的情形），不過確實能看出來當 Delta t ightarrow 0 時（也就是劃分越來越細的時候），這個variation在不斷變大。

還有一個沒什麼實際意義，但能幫助理解的定理：

維納過程 W(t) 在定義域內以概率1不可導。（幾乎處處不可導）

這個結論沒啥用（我要不可導幹啥），但能幫助理解為啥要新弄一個積分形式。

以及畫了兩個取點數量不同的圖：

從這兩個圖看出來就算取的點間隔再細，Weiner函數畫出來的圖依然不太光滑。這有點Weierstrass function，或者Koch snowflake的感覺。。

開胃菜就先到這裡。下一章（如果有的話）會開始學伊藤積分。


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