金融工程自學筆記（3）：伊藤引理

最近想自學一些金工的基礎，但可惜隨機過程的課中並沒有涵蓋Ito Calculus，在自學的過程中又發現了更大的坑（日常）。於是決定自（瞎）學（搞）。

本人水平極低，在學習和碼字過程中難免有誤，望指正，暢所欲言。

先修課程：數學分析，實變函數（實分析），概率論（推薦測度論版），隨機過程（了解最基礎的定義即可）。

本文由於筆者水平以及篇幅有限，更注重於金融知識、思想，對較難的定理以及計算選擇了略過。（所以這篇會比較簡單）

3.1 Ito process

伊藤過程是一種整個問題研究的重點。所謂的BS公式也就是這個過程的一個弱化版本的解。在上一篇中，我們主要解釋了伊藤積分時怎麼算的。積分和微分其實是差不多的東西，所以一起寫一下幫助理解。

A stochastic process is called an Ito process if it has a.s. continuous paths and can be represented as

For an Ito process it is customary to write the equation as

這裡對有限制條件，但只要上述積分都存在即可，在實際應用中一般不會出現問題。

我們可以先觀察一下微分形式：它告訴我們的變化由兩方面構成：代表由於時間的流逝發生的變化（如果把當成的話就是導數的含義），英文叫drift；是根據自身的波動而波動的，所以英文叫做variance。可以看到這些含義跟金融的股票波動等還是比較吻合的（既有時間趨勢，又有自身的波動性）。

3.2 Itos Lemma

只有一個Ito process看上去還是不夠解決實際的金融問題。我們來試著解決更一般的情況。

在此之前，先來複習一下第一篇文章的一個定理：

設，且 $t_i^n=frac{iT}{n}$ ，也就是把區間n等分。我們記

$Delta_i^n W = W(t_{i+1}^n)-W(t_i^n)$ .

$lim_{n ightarrow infty}sum_{i=0}^{n-1}(Delta _i^n W)^2=T in L^2$ .

這裡其實只要分劃足夠細就行了（不一定要等分），這個性質叫做Quadratic Variation（中文好像是二次變差）。複習一下：可微函數（導函數有界）的Quadratic Variation是0。咱們有了微分形式，如果讓的話上式其實就（近似地）變成了

這個性質非常關鍵，在後面計算的時候都要用到。

我們先給出簡化版本的伊藤引理：

Suppose that is a real-valued function with continuous partial derivatives. We also assume that the process $F_{x}^{}(t,W(t))$ belongs to $M_{T}^2$ . Then is an Ito process such that

$dF(t, W(t)) = ig{(}F_{t}^{}(t, W(t))+frac{1}{2}F_{xx}^{}(t, W(t))ig{)}dt+F_{x}^{}(t, W(t))dW(t)$

這個式子看上去很恐怖，其實除了 $frac{1}{2}F_{xx}^{}(t, W(t))dt$ 以外，別的只是多元函數的全微分而已。那麼這一項多出來的是怎麼來的呢？Quadratic Variation。

咱們來泰勒展開一下：（展開到二階，一階被我省略了）

$egin{aligned} dF(t,W(t))&=dots\&+ frac{1}{2}F_{tt}^{}(t,W(t))(dt)^2\&+ F_{tx}^{}(t,W(t))dtdW(t) \&+ frac{1}{2}F_{xx}^{}(t,W(t))(dW(t))^2\&+ dots end{aligned}$

我們知道，所以「相當於」是0.5次的，那麼前兩項其實就相對很小了，可以刪去，留下最後一項，替換後便是 $frac{1}{2}F_{xx}^{}(t, W(t))dt$ 。

有了這個思路以後，我們就可以算一般情況下的伊藤引理了：

Let be an Ito process as above. Suppose that is a real-valued function with continuous partial derivatives. We also assume that the process $b(t)F_{x}^{}(t,W(t))$ belongs to $M_{T}^2$ . Then is an Ito process such that

$egin{aligned} dF(t,xi(t))&= ig{(}F_{t}^{}(t, xi(t))+F_{x}^{}(t, xi(t))a(t) + frac{1}{2}F_{xx}^{}(t, xi(t))b(t)^2ig{)}dt\&+ F_{x}^{}(t,xi(t))b(t)dW(t) end{aligned}$

這個式子看上去又長了很多。。但其實跟上面的做法是一模一樣的。

[Remark] 從這節的描述也可以看到，上文只是給了一個「湊出」伊藤引理的方法，它的嚴格證明非常長（完全寫清楚得4,5頁A4紙），核心想法是：先證偏導數有界的情況：用積分形式把左邊拆開，一項一項證；最後用各種極限理論拓廣到一般情況。有興趣的話可以自行找國外教科書看。

3.3 Black-Scholes-Morton Equation

在計算BS公式之前，我們先要對市場做如下假設：

市場只有一支股票，它的波動滿足：，也就是服從幾何布朗運動（Geometric Brownian Motion, GBM）。（等式兩邊同時除以就能大致知道這是個什麼分布）（注意這裡的drift, variance項跟時間無關）
該股票存在一個衍生品，其價格只跟股價以及時間相關，記為
市場存在無風險利率（連續利率）
該市場可以隨時雙向對沖，且無手續費等限制。