概率論複習筆記(6)——Borel-Cantelli引理與Borel強大數定律

在上一篇筆記中，我們主要講了Chebyshev不等式的應用：

fjddy：概率論複習筆記(5)——Chebyshev不等式?

zhuanlan.zhihu.com

而在這次，還會多次用到Chebyshev不等式，可見它的重要性. 還不快好好複習？

事實上, Borel-Cantelli引理除了Borel強大數定律以外，在Komogorov強大數定律的證明中也會用到, 但是考慮到篇幅較長(要證好幾個引理, 至少它在我的上課筆記本上記滿了5頁紙), 還是決定在下一篇再寫它吧：如下.

fjddy：概率論複習筆記(7)——Kolmogorov大數定律?

zhuanlan.zhihu.com

1 引入

首先介紹幾個概念. 下面記是個概率空間, 是它上面的r.v.列.

定義1.1[幾乎必然收斂]如果滿足（即A是個零測集）, 使得則稱幾乎必然收斂到 , 或者記為

定義1.2 [依概率收斂] 如果都有則稱依概率收斂到 , 或者記為

利用極限的唯一性可以證明上面兩種收斂的極限幾乎必然唯一.

a.s.收斂可推出依概率收斂, 反之不成立, 見下面例子:

例1.1 令是個Borel- 代數. 把P取為上的Lebesgue測度. 令
這裡先取定k再取定i. 定義該定義合理（沒重複的n對應不同的k,i）.

注意到必有無窮個n使得也有無窮多個m使得所以不可能幾乎必然收斂為0, 即

另一方面,

讓則根據可知則從而

定義1.3 [上極限集與下極限集](1)把
稱為的上極限集, 記為 (2)把稱為的下極限集, 記為

顯然

下面兩個定理很重要, 它刻畫了幾乎必然收斂與依概率收斂.

定理1.1 [幾乎必然收斂的刻畫]

證明：只需利用並注意到

定理1.2 [依概率收斂的刻畫]

證明：「」: 假定根據定義, 對它的任一子列都有從而使得

取m充分大, 使得則對於有

「」(反證)假設不成立, 即以及使得

(即這個子列不是依概率收斂). 對此子列而言,

與矛盾. QED

註：以後將會頻繁利用上面兩個定理, 尤其是幾乎必然收斂的刻畫. 利用這個刻畫再結合概率測度的從上(下?)連續性可以進行放縮.

例1.2 設連續, 則

證明： , 則使得由於故（複合函數連續性, 可參考數學分析書）, 即得 QED

例1.3 如果則

證明：根據幾乎必然收斂的刻畫, 以及概率測度的單調性、從上連續性, 可以把欲證命題進行等價轉化:

利用Cauchy準則, 可得

則

2 Borel-Cantelli引理

有了前面的準備, 現在可以直接引入Borel-Cantelli引理了.

定理2.1 [Borel-Cantelli](1)我們有
即不可能發生無窮多次. (2)若相互獨立, 則有即必然發生無窮多次.

證明： (1)只需注意到

(2)欲證命題可以作如下轉化：

事實上,

根據夾逼定理可以證明完畢. QED

注1：如果把相互獨立減弱為兩兩不相關或者兩兩負相關, 結論仍成立.

注2：Borel-Cantelli給出了幾乎處處收斂的充分條件(把上述 ). 另外如果加上相互獨立又給出了個幾乎處處收斂的必要條件.

下面給出一個換了一種高大上表述的「推論」——Borel 0-1律.

推論2.2 [Borel 0-1律] 若相互獨立, 則

3 Borel強大數定律的證明

定理3.1 [Borel強大數定律] 設是事件A在n次獨立試驗中出現的次數, p是A在每次試驗中發生的概率, 則

證明： 根據幾乎必然收斂的刻畫, 我們只需要證

再根據Borel-Cantelli引理, 我們只需證

記則相當於作了中心化處理. 由於之間相互獨立, 則有

根據Chebyshev不等式(推廣)以及題目所給的i.i.d條件,

從而

證明完畢. QED

概率論複習筆記(6)——Borel-Cantelli引理與Borel強大數定律

目錄

1 引入

2 Borel-Cantelli引理

3 Borel強大數定律的證明