【「數」你好看】三角級數求和

一位上實劍橋學A-level further math的學生曾問過這樣一道題：

這是他們期末測試的最後一題，對於國際高中的學生確實有難度，其中運用的方法是三角級數

求和的經典技巧。這裡需要藉助複數的指數形式：

對於任意複數，其中a、b為實數，，

可以寫成的三角形式，其中 (具體推導可以看《如何理解複數的四則運算？》)

也可以寫成，即 (歐拉公式)。

特別的，當時，有 ,即

這就是上帝公式，數學中五個最重要的常數都在一個式子中了，多麼神奇。

驗證這個式子比較簡單，根據麥克勞林級數，把帶入可知

又因為 ,

所以， .

那麼如何證明呢？

令 ,求導可知

分離變數法求解上述微分方程可得：

又因為 ,所以。

因此，，得證。

如果知道上述歐拉公式，那麼理解複數的乘除就是拉伸與旋轉變換就很簡單了：

還有複數的棣莫弗公式也非常簡單了：

。

所以上述歐拉公式還是非常有用的。那麼言歸正傳，如何求解呢？

這裡我們需要為每一項補一項 ,然後算出來的值取實部就可以了:

其中表示取這個複數的實部。

那麼

上式變成了等比數列求和，且公比，所以根據無窮等比數列求和公式可得

化簡可知

原式= 。

利用上述技巧可以比較快速的推導三角函數中一個著名的公式

下證：

其中Im()表示取複數的虛部。

那麼，原式=

分子分母同時除以

再取虛部，原式，得證。

所以對於三角級數的問題，我們都可以採取這種技巧：先補項，藉助歐拉公式，轉化成等比數列求和，最後取實部或者虛部。

其實除了求和，對於型如或的積分，我們也可以採取上述方法，畢竟積分也是求和。如：

所以

取虛部可知：

在競賽中這也是常用的求解三角級數和的方法，比較容易入手，對於三角函數的要求不高，不過要看清楚是三角函數「相加」的形式，對於三角函數「相乘」可不能用這種方法求解！

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